Quatro cargas
estão colocadas nos vértices de um quadrado de lado
. Determine o campo eléctrico e o potencial no centro do quadrado para os dois casos de distribuição das cargas:
Vértices opostos têm cargas de sinais opostos.
Vértices opostos têm cargas de sinais opostos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um quadrado com lado $ a $ e em cada vértice tem uma carga elétrica: duas $ +q $ e duas $ -q $. O objetivo aqui é descobrir como fica o campo elétrico e o potencial elétrico no centro do quadrado. Para isso, vamos usar conceitos de eletrostática, como a Lei de Coulomb para calcular o campo e a definição de potencial elétrico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como calcular o campo elétrico no centro. O campo elétrico devido a uma carga $ q $ em um ponto é dado por:
onde $ k_e $ é a constante eletrostática, $ r $ é a distância entre a carga e o ponto onde estamos calculando o campo, e $ \hat{r} $ é o vetor unitário na direção da linha que liga a carga ao ponto.
Passo 3
No nosso caso, o centro do quadrado está equidistante de todas as cargas. A distância do centro a cada vértice é $ \frac{a}{\sqrt{2}} $. Isso porque, em um quadrado, a diagonal mede $ a\sqrt{2} $, e a metade dessa diagonal é a distância do centro a cada vértice.
Passo 4
Vamos calcular o campo causado por cada carga no centro. As cargas $ +q $ vão empurrar o campo para fora delas, enquanto as $ -q $ vão puxar o campo para elas. Porém, como temos simetria no quadrado, algumas componentes do campo vão se cancelar.
Passo 5
Vamos analisar as direções dos campos:
- As duas cargas $ +q $ estão em vértices opostos, assim como as duas $ -q $.
- O campo de uma $ +q $ aponta para longe dela, e o campo de uma $ -q $ aponta em direção a ela.
- Devido à simetria, os campos das cargas opostas vão se cancelar nas direções perpendiculares às diagonais do quadrado.
Passo 6
Somando todos os campos, vemos que as componentes horizontais se cancelam, e as componentes verticais também se cancelam. Portanto, o campo elétrico total no centro do quadrado é zero.
Passo 7
Agora, vamos calcular o potencial elétrico no centro. O potencial elétrico devido a uma carga $ q $ é dado por:
O potencial é uma grandeza escalar, então ele simplesmente se soma para todas as cargas, independente da direção.
Passo 8
Calculando o potencial de cada carga no centro:
- As duas cargas $ +q $ contribuem com $ V_+ = 2 \times k_e \frac{q}{\frac{a}{\sqrt{2}}} = 2k_e \frac{q\sqrt{2}}{a} $
- As duas cargas $ -q $ contribuem com $ V_- = 2 \times k_e \frac{-q}{\frac{a}{\sqrt{2}}} = -2k_e \frac{q\sqrt{2}}{a} $
Passo 9
Somando todas as contribuições:
Resposta
Então, tanto o campo elétrico quanto o potencial elétrico no centro do quadrado são zero.