Calcule o trabalho realizado pelo campo elétrico ao longo de um período T
W_{E}=\int_{0}^{T} q \mathbf{E} \cdot \mathbf{v} d t
e interprete fisicamente este resultado.

Passo 1

O enunciado pede que calculemos o trabalho realizado pelo campo elétrico ao longo de um período T
W_{E}=\int_{0}^{T} q \mathbf{E}\cdot \mathbf{v}\,dt.
Informações relevantes e hipóteses que vamos usar (não peça nada, já assumo o que é padrão nesse tipo de problema):
  • q é a carga da partícula (constante).
  • \mathbf{E}=\mathbf{E}(\mathbf{r},t) é o campo elétrico (pode depender de t e de \mathbf{r}).
  • \mathbf{v}=\mathbf{v}(t) é a velocidade da partícula, e a movimentação é periódica com período T, isto é, \mathbf{v}(T)=\mathbf{v}(0). (Se a posição também fecha, a trajetória é fechada; o que nos interessa é a periodicidade da velocidade.)
  • A única força que faz trabalho que vamos considerar explicitamente é a força elétrica q\mathbf{E}. Se houver forças adicionais (força de resistência, forças dissipativas), elas mudariam o balanço energético — vou comentar isso na interpretação física.
  • Nosso objetivo: calcular o valor do integral e interpretar fisicamente o que significa esse resultado.

Passo 2

Vamos ligar a integranda q\mathbf{E}\cdot\mathbf{v} com a variação da energia cinética usando a segunda lei de Newton. A equação do movimento (quando a única força relevante é a elétrica) é
m\frac{d\mathbf{v}}{dt}=q\mathbf{E},
onde m é a massa da partícula e \frac{d\mathbf{v}}{dt} é a aceleração. Explico cada símbolo:
  • m é massa (constante).
  • \mathbf{v}(t) é velocidade, vetor função do tempo.
  • \frac{d\mathbf{v}}{dt} é derivada temporal da velocidade, ou seja, aceleração.
    Multiplicando escalarmente ambos os lados por \mathbf{v} (produto escalar), obtemos
q\mathbf{E}\cdot\mathbf{v} = m\frac{d\mathbf{v}}{dt}\cdot\mathbf{v}.
Agora explico por que o lado direito é a derivada da energia cinética. A energia cinética é
K(t)=\tfrac{1}{2}m v^2(t),
onde v^2(t)=\mathbf{v}(t)\cdot\mathbf{v}(t). Usando a regra da cadeia para derivar K,
\frac{dK}{dt}=\frac{d}{dt}\left(\tfrac{1}{2}m v^2\right)=m\,\mathbf{v}\cdot\frac{d\mathbf{v}}{dt}.
Logo
m\frac{d\mathbf{v}}{dt}\cdot\mathbf{v}=\frac{d}{dt}\left(\tfrac{1}{2}m v^2\right).

Passo 3

Substituindo essa relação dentro do integrando, transformamos o trabalho em uma derivada temporal:
W_{E}=\int_{0}^{T} q\mathbf{E}\cdot\mathbf{v}\,dt=\int_{0}^{T} m\frac{d\mathbf{v}}{dt}\cdot\mathbf{v}\,dt=\int_{0}^{T}\frac{d}{dt}\left(\tfrac{1}{2}m v^2\right)dt.
Aqui usei a identidade que deduzi no passo anterior. Agora aplicamos o teorema fundamental do cálculo (integramos uma derivada):
W_{E}=\left[\tfrac{1}{2}m v^2(t)\right]_{0}^{T}=\tfrac{1}{2}m v^2(T)-\tfrac{1}{2}m v^2(0).

Passo 4

Usamos a periodicidade da velocidade: como a movimentação é periódica com período T, temos \mathbf{v}(T)=\mathbf{v}(0) e, portanto, v^2(T)=v^2(0). Substituindo isso na expressão anterior:
W_{E}=\tfrac{1}{2}m v^2(T)-\tfrac{1}{2}m v^2(0)=0.
Assim, o trabalho do campo elétrico sobre a partícula durante exatamente um período é zero, sob as hipóteses feitas.

Passo 5

Interpretação física detalhada e comentários (claro, no estilo amigo e encorajador):
  • Resultado físico principal: o campo elétrico não realiza trabalho líquido sobre a partícula ao longo de um ciclo completo de movimento periódico; o que o campo faz é emprestar energia cinética em alguns instantes e devolvê‑la em outros, de modo que no fim do período a energia cinética retorna ao valor inicial.
  • Isso não significa que durante o ciclo não haja trocas de energia — há muitas trocas instantâneas (o integrando q\mathbf{E}\cdot\mathbf{v} pode ser positivo nuns instantes e negativo noutros). Só o saldo total é zero.
  • Relação com forças magnéticas: se houver campo magnético puro \mathbf{B}, a força magnética q\mathbf{v}\times\mathbf{B} é sempre perpendicular a \mathbf{v} e, portanto, não realiza trabalho instantâneo (produto escalar zero). Assim, nosso raciocínio não é contradito por campos magnéticos.
  • E se houver forças dissipativas (atrito, resistência)? Nesse caso a equação do movimento seria m\dot{\mathbf{v}}=q\mathbf{E}+\mathbf{F}_{\rm diss}. Fazendo o mesmo passo de antes, q\mathbf{E}\cdot\mathbf{v}=\frac{d}{dt}(\tfrac12 m v^2)-\mathbf{F}_{\rm diss}\cdot\mathbf{v}. Integrando em um período, o trabalho do campo elétrico compensaria a variação de energia cinética (zero) mais o trabalho realizado contra a dissipação. Assim, com dissipação o trabalho do campo elétrico em um ciclo pode ser diferente de zero e normalmente positivo, precisamente para suprir a energia perdida por dissipação (por exemplo, em um circuito RLC com resistência o campo elétrico fornece potência média para vencer a resistência).
  • Exemplo concreto intuitivo: numa partícula presa por uma força restauradora e sujeita a um campo elétrico oscilante, a velocidade oscila; o campo acelera a partícula em certas fases e desacelera em outras; se não há perda, o ganho e a perda se cancelam por ciclo.

Resposta

0

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