Calcule o trabalho realizado pelo campo elétrico ao longo de um período
e interprete fisicamente este resultado.
Passo 1
O enunciado pede que calculemos o trabalho realizado pelo campo elétrico ao longo de um período
Informações relevantes e hipóteses que vamos usar (não peça nada, já assumo o que é padrão nesse tipo de problema):
-
é a carga da partícula (constante). -
é o campo elétrico (pode depender de e de ). -
é a velocidade da partícula, e a movimentação é periódica com período , isto é, . (Se a posição também fecha, a trajetória é fechada; o que nos interessa é a periodicidade da velocidade.) - A única força que faz trabalho que vamos considerar explicitamente é a força elétrica
. Se houver forças adicionais (força de resistência, forças dissipativas), elas mudariam o balanço energético — vou comentar isso na interpretação física. - Nosso objetivo: calcular o valor do integral e interpretar fisicamente o que significa esse resultado.
Passo 2
Vamos ligar a integranda
com a variação da energia cinética usando a segunda lei de Newton. A equação do movimento (quando a única força relevante é a elétrica) é
onde
é a massa da partícula e
é a aceleração. Explico cada símbolo:
-
é massa (constante). -
é velocidade, vetor função do tempo. -
é derivada temporal da velocidade, ou seja, aceleração.
Multiplicando escalarmente ambos os lados por(produto escalar), obtemos
Agora explico por que o lado direito é a derivada da energia cinética. A energia cinética é
onde
. Usando a regra da cadeia para derivar
,
Logo
Passo 3
Substituindo essa relação dentro do integrando, transformamos o trabalho em uma derivada temporal:
Aqui usei a identidade que deduzi no passo anterior. Agora aplicamos o teorema fundamental do cálculo (integramos uma derivada):
Passo 4
Usamos a periodicidade da velocidade: como a movimentação é periódica com período
, temos
e, portanto,
. Substituindo isso na expressão anterior:
Assim, o trabalho do campo elétrico sobre a partícula durante exatamente um período é zero, sob as hipóteses feitas.
Passo 5
Interpretação física detalhada e comentários (claro, no estilo amigo e encorajador):
- Resultado físico principal: o campo elétrico não realiza trabalho líquido sobre a partícula ao longo de um ciclo completo de movimento periódico; o que o campo faz é emprestar energia cinética em alguns instantes e devolvê‑la em outros, de modo que no fim do período a energia cinética retorna ao valor inicial.
- Isso não significa que durante o ciclo não haja trocas de energia — há muitas trocas instantâneas (o integrando
pode ser positivo nuns instantes e negativo noutros). Só o saldo total é zero. - Relação com forças magnéticas: se houver campo magnético puro
, a força magnética é sempre perpendicular a e, portanto, não realiza trabalho instantâneo (produto escalar zero). Assim, nosso raciocínio não é contradito por campos magnéticos. - E se houver forças dissipativas (atrito, resistência)? Nesse caso a equação do movimento seria
. Fazendo o mesmo passo de antes, . Integrando em um período, o trabalho do campo elétrico compensaria a variação de energia cinética (zero) mais o trabalho realizado contra a dissipação. Assim, com dissipação o trabalho do campo elétrico em um ciclo pode ser diferente de zero e normalmente positivo, precisamente para suprir a energia perdida por dissipação (por exemplo, em um circuito RLC com resistência o campo elétrico fornece potência média para vencer a resistência). - Exemplo concreto intuitivo: numa partícula presa por uma força restauradora e sujeita a um campo elétrico oscilante, a velocidade oscila; o campo acelera a partícula em certas fases e desacelera em outras; se não há perda, o ganho e a perda se cancelam por ciclo.
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