(a) Encontre a força (vetor) de Lorentz que atua nessa partícula no instante t=0.
(b) O que acontece com o módulo da velocidade da partícula ao longo do tempo? Justifique.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. (a) Encontrar a força (vetor) de Lorentz que atua na partícula no instante t=0.
  2. (b) Dizer o que acontece com o módulo da velocidade da partícula ao longo do tempo, com justificativa.
Informações dadas no enunciado que eu tenho aqui: nenhuma — o enunciado que você mandou não traz o valor da carga da partícula, nem a posição ou velocidade iniciais, nem os campos elétrico e magnético \mathbf{E} e \mathbf{B}.
Informações que seriam necessárias para calcular numericamente a resposta de (a): q (carga), \mathbf{r}(0) (posição em t=0), \mathbf{v}(0) (velocidade em t=0), e as funções campo \mathbf{E}(\mathbf{r},t) e \mathbf{B}(\mathbf{r},t) (ou ao menos seus valores em \mathbf{r}(0),t=0).
Se alguma figura ou tabela do enunciado continha esses dados, ela não foi enviada; por isso não posso produzir um valor numérico concreto sem esses dados. A partir daqui vou explicar direitinho a teoria e o passo a passo que você deve aplicar na prova para obter (a) e responder (b).

Passo 2

Fórmula fundamental (aquela que você tem que decorar e saber aplicar): a força de Lorentz sobre uma partícula de carga q e velocidade \mathbf{v} em campos \mathbf{E} e \mathbf{B} é
\mathbf{F} = q\bigl(\mathbf{E} + \mathbf{v}\times\mathbf{B}\bigr).
Explicando cada símbolo:
  • q é a carga elétrica da partícula (pode ser positiva ou negativa).
  • \mathbf{E} é o campo elétrico no ponto onde a partícula está (unidade: N/C ou V/m).
  • \mathbf{B} é o campo magnético no ponto (unidade: T).
  • \mathbf{v} é a velocidade da partícula no instante considerado.
  • \mathbf{v}\times\mathbf{B} é o produto vetorial entre \mathbf{v} e \mathbf{B}, resultando num vetor perpendicular a ambos.
Na prova, quando pedirem "a força no instante t=0", você deve avaliar \mathbf{E} e \mathbf{B} no local e no tempo adequados e usar \mathbf{v}(0).

Passo 3

Passo a passo prático para calcular \mathbf{F} no instante t=0 (use isso como checklist na prova):
  1. Identifique/pegue do enunciado a carga q.
  2. Determine a posição da partícula em t=0: \mathbf{r}(0). (Se não der \mathbf{r}(0), às vezes o enunciado fornece diretamente \mathbf{E} e \mathbf{B} no ponto ou dá \mathbf{E}(\mathbf{r},t), \mathbf{B}(\mathbf{r},t).)
  3. Pegue a velocidade inicial \mathbf{v}(0).
  4. Avalie os campos no ponto e tempo: compute \mathbf{E}(\mathbf{r}(0),0) e \mathbf{B}(\mathbf{r}(0),0).
  5. Calcule o produto vetorial \mathbf{v}(0)\times\mathbf{B}(\mathbf{r}(0),0).
  6. Faça a soma \mathbf{E}(\mathbf{r}(0),0)+\mathbf{v}(0)\times\mathbf{B}(\mathbf{r}(0),0).
  7. Multiplique por q: \mathbf{F}(0)=q\bigl(\mathbf{E}(\mathbf{r}(0),0)+\mathbf{v}(0)\times\mathbf{B}(\mathbf{r}(0),0)\bigr).
Isso é tudo — se você tiver os vetores numéricos, aplica essas operações componente a componente.

Passo 4

Como calcular o produto vetorial na prática (exposição detalhada, passo a passo):
Se \mathbf{v}=(v_x,v_y,v_z) e \mathbf{B}=(B_x,B_y,B_z), então
\mathbf{v}\times\mathbf{B} = \bigl(v_y B_z - v_z B_y,\; v_z B_x - v_x B_z,\; v_x B_y - v_y B_x\bigr).
Explicando: cada componente do vetor resultante é uma combinação dos produtos das componentes originais, com sinais conforme a regra da mão direita. Na prova, faça sempre por componentes — menos chance de errar.
Exemplo ilustrativo (apenas para treinar, não faz parte do seu enunciado): suponha q=2, \mathbf{v}(0)=(1,0,0) (em m/s), e \mathbf{B}=(0,0,3) (em T), e \mathbf{E}=(0,5,0) (em N/C). Então
\mathbf{v}\times\mathbf{B}=(0\cdot 3-0\cdot 0,\;0\cdot 0-1\cdot 3,\;1\cdot 0-0\cdot 0)=(0,-3,0).
Logo
\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B}=(0,5,0)+(0,-3,0)=(0,2,0),
e
\mathbf{F}(0)=q(0,2,0)=2(0,2,0)=(0,4,0).
Isto mostra como proceder numericamente.

Passo 5

Agora a parte (b): o que acontece com o módulo da velocidade ao longo do tempo — a ideia física e a prova matemática.
Teorema útil: a taxa de variação da energia cinética é igual à potência fornecida pela força:
\frac{d}{dt}\!\left(\tfrac{1}{2}m v^2\right) = \mathbf{F}\cdot\mathbf{v},
onde m é a massa e v=\|\mathbf{v}\|. Aqui \mathbf{F}\cdot\mathbf{v} é o produto escalar entre força e velocidade (potência instantânea).
Aplicando a força de Lorentz:
\mathbf{F}\cdot\mathbf{v} = q\bigl(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B}\bigr)\cdot\mathbf{v} = q\,\mathbf{E}\cdot\mathbf{v} + q(\mathbf{v}\times\mathbf{B})\cdot\mathbf{v}.
Mas um produto escalar entre um vetor e um produto vetorial com esse mesmo vetor é sempre zero:
(\mathbf{v}\times\mathbf{B})\cdot\mathbf{v}=0,
porque \mathbf{v}\times\mathbf{B} é perpendicular a \mathbf{v}. Portanto
\frac{d}{dt}\!\left(\tfrac{1}{2}m v^2\right)= q\,\mathbf{E}\cdot\mathbf{v}.
Interpretação:
  • O termo que pode alterar o módulo da velocidade é q\,\mathbf{E}\cdot\mathbf{v}. Ou seja, apenas o campo elétrico pode realizar trabalho sobre a partícula e modificar sua energia cinética (e portanto o módulo de \mathbf{v}).
  • O campo magnético atua sempre perpendicularmente à velocidade instantânea (via \mathbf{v}\times\mathbf{B}), desviando a direção da velocidade mas não fazendo trabalho — portanto o campo magnético sozinho não muda o módulo v, apenas sua direção (por exemplo, movimento circular uniforme).
Conclusões práticas para a prova:
  • Se o campo elétrico no trajeto da partícula for nulo ( \mathbf{E}=0 em todo o necessário) ou se \mathbf{E}\cdot\mathbf{v}=0 para todo tempo (isto é, \mathbf{E} sempre perpendicular à velocidade), então
\frac{d}{dt}\!\left(\tfrac{1}{2}m v^2\right)=0
e o módulo v é constante ao longo do tempo.
  • Se houver componente de \mathbf{E} na direção de \mathbf{v} (isto é, \mathbf{E}\cdot\mathbf{v}\neq 0 em algum intervalo), então a partícula ganha ou perde energia cinética e o módulo v varia, conforme a equação acima.
Exemplo rápido (intuitivo): num campo magnético uniforme e sem campo elétrico, uma partícula com velocidade inicial perpendicular ao campo descreve um círculo de velocidade constante. Se houver um campo elétrico na direção da velocidade, a partícula acelera/desacelera.

Passo 6

Resumo do que você deve escrever/entregar na prova:
  • Para (a): escreva a fórmula da força de Lorentz e avalie-a em t=0. Se o enunciado lhe deu valores numéricos para q,\mathbf{v}(0),\mathbf{E}(\mathbf{r}(0),0),\mathbf{B}(\mathbf{r}(0),0), faça o produto vetorial e multiplique por q como no exemplo do Passo 4. Se faltarem esses dados, explique que não é possível obter valor numérico.
  • Para (b): escreva a derivação via potência/energia mostrando que somente \mathbf{E} contribui para mudança do módulo e conclua quando o módulo é constante ou varia.

Resposta

(a) \mathbf{F}(0)=q\bigl(\mathbf{E}(\mathbf{r}(0),0)+\mathbf{v}(0)\times\mathbf{B}(\mathbf{r}(0),0)\bigr). Não é possível calcular um valor numérico porque faltam q, \mathbf{v}(0), \mathbf{r}(0), \mathbf{E} e \mathbf{B} no enunciado.
(b) O módulo da velocidade é constante ao longo do tempo se e somente se \mathbf{E}\cdot\mathbf{v}=0 para todo tempo (por exemplo, se \mathbf{E}=0 ou se \mathbf{E} for sempre perpendicular a \mathbf{v}); caso contrário, o módulo varia, obedecendo \dfrac{d}{dt}\!\left(\tfrac{1}{2}m v^2\right)=q\,\mathbf{E}\cdot\mathbf{v}.

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