(a) Encontre a força (vetor) de Lorentz que atua nessa partícula no instante
.
(b) O que acontece com o módulo da velocidade da partícula ao longo do tempo? Justifique.
(b) O que acontece com o módulo da velocidade da partícula ao longo do tempo? Justifique.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Encontrar a força (vetor) de Lorentz que atua na partícula no instante
. - (b) Dizer o que acontece com o módulo da velocidade da partícula ao longo do tempo, com justificativa.
Informações dadas no enunciado que eu tenho aqui: nenhuma — o enunciado que você mandou não traz o valor da carga da partícula, nem a posição ou velocidade iniciais, nem os campos elétrico e magnético
e
.
Informações que seriam necessárias para calcular numericamente a resposta de (a): (carga),
(posição em
),
(velocidade em
), e as funções campo
e
(ou ao menos seus valores em
).
Se alguma figura ou tabela do enunciado continha esses dados, ela não foi enviada; por isso não posso produzir um valor numérico concreto sem esses dados. A partir daqui vou explicar direitinho a teoria e o passo a passo que você deve aplicar na prova para obter (a) e responder (b).
Informações que seriam necessárias para calcular numericamente a resposta de (a):
Se alguma figura ou tabela do enunciado continha esses dados, ela não foi enviada; por isso não posso produzir um valor numérico concreto sem esses dados. A partir daqui vou explicar direitinho a teoria e o passo a passo que você deve aplicar na prova para obter (a) e responder (b).
Passo 2
Fórmula fundamental (aquela que você tem que decorar e saber aplicar): a força de Lorentz sobre uma partícula de carga
e velocidade
em campos
e
é
Explicando cada símbolo:
-
é a carga elétrica da partícula (pode ser positiva ou negativa). -
é o campo elétrico no ponto onde a partícula está (unidade: N/C ou V/m). -
é o campo magnético no ponto (unidade: T). -
é a velocidade da partícula no instante considerado. -
é o produto vetorial entre e , resultando num vetor perpendicular a ambos.
Na prova, quando pedirem "a força no instante
", você deve avaliar
e
no local e no tempo adequados e usar
.
Passo 3
Passo a passo prático para calcular
no instante
(use isso como checklist na prova):
- Identifique/pegue do enunciado a carga
. - Determine a posição da partícula em
: . (Se não der , às vezes o enunciado fornece diretamente e no ponto ou dá , .) - Pegue a velocidade inicial
. - Avalie os campos no ponto e tempo: compute
e . - Calcule o produto vetorial
. - Faça a soma
. - Multiplique por
: .
Isso é tudo — se você tiver os vetores numéricos, aplica essas operações componente a componente.
Passo 4
Como calcular o produto vetorial na prática (exposição detalhada, passo a passo):
Se e
, então
Se
Explicando: cada componente do vetor resultante é uma combinação dos produtos das componentes originais, com sinais conforme a regra da mão direita. Na prova, faça sempre por componentes — menos chance de errar.
Exemplo ilustrativo (apenas para treinar, não faz parte do seu enunciado): suponha
,
(em m/s), e
(em T), e
(em N/C). Então
Logo
e
Isto mostra como proceder numericamente.
Passo 5
Agora a parte (b): o que acontece com o módulo da velocidade ao longo do tempo — a ideia física e a prova matemática.
Teorema útil: a taxa de variação da energia cinética é igual à potência fornecida pela força:
onde
é a massa e
. Aqui
é o produto escalar entre força e velocidade (potência instantânea).
Aplicando a força de Lorentz:
Mas um produto escalar entre um vetor e um produto vetorial com esse mesmo vetor é sempre zero:
porque
é perpendicular a
. Portanto
Interpretação:
- O termo que pode alterar o módulo da velocidade é
. Ou seja, apenas o campo elétrico pode realizar trabalho sobre a partícula e modificar sua energia cinética (e portanto o módulo de ). - O campo magnético atua sempre perpendicularmente à velocidade instantânea (via
), desviando a direção da velocidade mas não fazendo trabalho — portanto o campo magnético sozinho não muda o módulo , apenas sua direção (por exemplo, movimento circular uniforme).
Conclusões práticas para a prova:
- Se o campo elétrico no trajeto da partícula for nulo (
em todo o necessário) ou se para todo tempo (isto é, sempre perpendicular à velocidade), então
e o módulo
é constante ao longo do tempo.
- Se houver componente de
na direção de (isto é, em algum intervalo), então a partícula ganha ou perde energia cinética e o módulo varia, conforme a equação acima.
Exemplo rápido (intuitivo): num campo magnético uniforme e sem campo elétrico, uma partícula com velocidade inicial perpendicular ao campo descreve um círculo de velocidade constante. Se houver um campo elétrico na direção da velocidade, a partícula acelera/desacelera.
Passo 6
Resumo do que você deve escrever/entregar na prova:
- Para (a): escreva a fórmula da força de Lorentz e avalie-a em
. Se o enunciado lhe deu valores numéricos para , faça o produto vetorial e multiplique por como no exemplo do Passo 4. Se faltarem esses dados, explique que não é possível obter valor numérico. - Para (b): escreva a derivação via potência/energia mostrando que somente
contribui para mudança do módulo e conclua quando o módulo é constante ou varia.
Resposta
(a)
. Não é possível calcular um valor numérico porque faltam
,
,
,
e
no enunciado.
(b) O módulo da velocidade é constante ao longo do tempo se e somente se para todo tempo (por exemplo, se
ou se
for sempre perpendicular a
); caso contrário, o módulo varia, obedecendo
.
(b) O módulo da velocidade é constante ao longo do tempo se e somente se