Calcule a integral de linha de
sobre a corva
é a parábola
de
a
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha da campo vetorial
ao longo da curva
, que é a parábola
do ponto
até o ponto
.
Informações dadas:
- Campo vetorial:
com e . - Curva
: , começando em e terminando em . - O que se pede: calcular
.
Passo 2
Primeiro cheque rápido: será que
é um campo conservativo? Se for, dá para usar potencial e basta avaliar nos extremos (muito mais rápido). O teste em
(domínio simplesmente conexo) é comparar
e
.
Calcule:
Como
em geral, o campo não é conservativo. Portanto a integral depende do caminho e precisamos parametrizar
e calcular a integral diretamente.
Passo 3
Parametrização da curva
: um jeito natural é usar a própria coordenada
como parâmetro. Seja
porque quando
temos
e quando
temos
. Então
e o elemento de linha é
.
Passo 4
Escrevendo a integral de linha pela parametrização:
Substituindo
e
:
Multiplicando pelos derivados:
Somando os dois termos obtemos o integrando:
Portanto a integral fica
Passo 5
Calcule a integral real:
Agora os valores:
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