Calcule a integral de linha de F(x, y)=3 x y i+\left(4 x^{2}-3 y\right) j sobre a corva C: é a parábola y=x^{2} de (-1,1) a (4,16).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha da campo vetorial F(x,y)=3xy\,\mathbf{i}+(4x^{2}-3y)\,\mathbf{j} ao longo da curva C, que é a parábola y=x^{2} do ponto (-1,1) até o ponto (4,16).
Informações dadas:
  • Campo vetorial: F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y)) com P(x,y)=3xy e Q(x,y)=4x^{2}-3y.
  • Curva C: y=x^{2}, começando em (-1,1) e terminando em (4,16).
  • O que se pede: calcular \displaystyle \int_{C} F\cdot d\mathbf{r}=\int_{C} P\,dx + Q\,dy.

Passo 2

Primeiro cheque rápido: será que F é um campo conservativo? Se for, dá para usar potencial e basta avaliar nos extremos (muito mais rápido). O teste em \mathbb{R}^{2} (domínio simplesmente conexo) é comparar \partial P/\partial y e \partial Q/\partial x.
Calcule:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(3xy)=3x, \qquad \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(4x^{2}-3y)=8x.
Como \displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}=3x\neq 8x=\frac{\partial Q}{\partial x} em geral, o campo não é conservativo. Portanto a integral depende do caminho e precisamos parametrizar C e calcular a integral diretamente.

Passo 3

Parametrização da curva C: um jeito natural é usar a própria coordenada x como parâmetro. Seja
\mathbf{r}(t)=(x(t),y(t))=(t,t^{2}),\qquad t\in[-1,4],
porque quando t=-1 temos (-1,1) e quando t=4 temos (4,16). Então
\frac{dx}{dt}=x'(t)=1,\qquad \frac{dy}{dt}=y'(t)=2t,
e o elemento de linha é d\mathbf{r}=(dx,dy)=(1,2t)\,dt.

Passo 4

Escrevendo a integral de linha pela parametrização:
\int_{C} P\,dx+Q\,dy=\int_{t=-1}^{4}\Big(P(x(t),y(t))\,x'(t)+Q(x(t),y(t))\,y'(t)\Big)\,dt.
Substituindo x=t e y=t^{2}:
P(x(t),y(t))=3\,t\cdot t^{2}=3t^{3}, \qquad Q(x(t),y(t))=4t^{2}-3t^{2}=t^{2}.
Multiplicando pelos derivados:
P\,x'(t)=3t^{3}\cdot 1=3t^{3}, \qquad Q\,y'(t)=t^{2}\cdot 2t=2t^{3}.
Somando os dois termos obtemos o integrando:
P\,x'(t)+Q\,y'(t)=3t^{3}+2t^{3}=5t^{3}.
Portanto a integral fica
\int_{C} F\cdot d\mathbf{r}=\int_{-1}^{4}5t^{3}\,dt.

Passo 5

Calcule a integral real:
\int_{-1}^{4}5t^{3}\,dt=5\int_{-1}^{4}t^{3}\,dt=5\left[\frac{t^{4}}{4}\right]_{-1}^{4}=\frac{5}{4}\big(4^{4}-(-1)^{4}\big).
Agora os valores:
4^{4}=256,\qquad (-1)^{4}=1,
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\frac{5}{4}(256-1)=\frac{5}{4}\cdot 255=\frac{1275}{4}.

Resposta

\dfrac{1275}{4}

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