Use o teorema de Green para calcular \oint 3 x y d x+\left(4 x^{2}-3 y\right) d y, onde C: é o segmento de reta que liga o ponto (-2,-3) a (3,2) e a parábola y=x^{2}-7 de (3,2) a (-2,-3).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\oint_C 3xy\,dx + \bigl(4x^{2}-3y\bigr)\,dy,
onde a curva C é fechada e composta por duas partes ligando os pontos A=(-2,-3) e B=(3,2):
  • o segmento de reta A\to B (ou seja, de (-2,-3) até (3,2));
  • a parábola y=x^{2}-7 que vai de B a A (ou seja, de (3,2) até (-2,-3)).
Informações relevantes que temos:
  • Os pontos finais coincidem com os pontos da parábola: y(3)=3^{2}-7=2 e y(-2)=(-2)^{2}-7=-3.
  • A reta que liga A a B tem equação y=x-1 (verificação rápida: passa por (3,2) e (-2,-3)).
  • A curva fechada C é formada por duas curvas que delimitam a região D entre a parábola y=x^{2}-7 (embaixo) e a reta y=x-1 (embaixo/embaixo? vamos confirmar depois) para x entre -2 e 3.
O que é pedido: o valor numérico da integral de linha dada ao longo de C.

Passo 2

Escolha do método (explicando por quê, do jeito mais prático para a prova).
Uma maneira eficiente é usar uma fórmula que transforma uma integral de linha ao longo de uma curva fechada numa integral dupla sobre a região que ela encerra. Essa fórmula (que vamos usar sem nomeá-la aqui) exige:
  • funções P(x,y) e Q(x,y) suficientemente suaves na região,
  • a curva fechada C orientada de forma fechada (atenção ao sentido: horário ou anti-horário).
No nosso integrando, identifique:
P(x,y)=3xy,\qquad Q(x,y)=4x^{2}-3y.
A ideia é calcular \dfrac{\partial Q}{\partial x} e \dfrac{\partial P}{\partial y}, formar \dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y} e integrar essa diferença sobre a região D entre as duas curvas. Vou mostrar passo a passo como fazer e também como tratar o sentido (horário/anti-horário), porque isso troca o sinal da resposta se estivermos no sentido horário.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais e montar o integrando da integral dupla.
Calcule:
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(4x^{2}-3y\bigr)=8x,
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(3xy\bigr)=3x.
Portanto
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=8x-3x=5x.
Esse será o integrando da integral dupla sobre a região D (com sinal conforme a orientação de C).

Passo 4

Determinar claramente a região D e o sentido de percurso da fronteira C.
A região D é a região entre as curvas
y_{\text{par}}(x)=x^{2}-7\quad\text{(parábola)}á
e
y_{\text{reta}}(x)=x-1\quad\text{(reta)},
com x variando entre os pontos de interseção x=-2 e x=3. Logo os limites são x\in[-2,3] e, para cada x,
y\in\bigl[x^{2}-7,\;x-1\bigr].
Agora o sentido: o enunciado especifica que o segmento de reta vai de (-2,-3) para (3,2) e a parábola vai de (3,2) para (-2,-3). Precisamos saber se essa orientação é positiva (anti-horária) ou negativa (horária), porque a fórmula troca de sinal se for horária.
Compare as duas curvas no intervalo [-2,3]. Considere a diferença
x^{2}-7 - (x-1) = x^{2}-x-6=(x-3)(x+2).
Entre x=-2 e x=3 essa expressão é negativa (teste: em x=0 -6), então
x^{2}-7 < x-1\quad\text{para }x\in(-2,3).
Ou seja, a parábola está abaixo da reta nesse intervalo; a reta é a fronteira superior e a parábola é a fronteira inferior.
Agora examine a orientação dada: percorre-se a reta de A(-2,-3) para B(3,2) (ou seja, da esquerda para a direita no bordo superior) e depois retorna pela parábola de B para A (da direita para a esquerda, no bordo inferior). Para saber se isto é horário ou anti-horário, pense no ponto interno (0,-2) (por exemplo): ao andar pela reta de A para B o interior da região fica à direita do sentido do percurso. Isso caracteriza uma orientação horário (negativa). Portanto a orientação dada é horário.
Conclusão importante: a fórmula padrão (que dá linha integral = integral dupla) assume orientação anti-horária; como a orientação dada é horário, a integral de linha pedida vale o negativo da integral dupla de 5x sobre D.

Passo 5

Montar a integral dupla correspondente (com o sinal correto).
Como a orientação é horário, temos
\oint_{C} 3xy\,dx + \bigl(4x^{2}-3y\bigr)\,dy = - \iint_{D} \bigl(5x\bigr)\,dA.
Com os limites descritos em x e y:
- \int_{x=-2}^{3}\int_{y=x^{2}-7}^{\,x-1} 5x\,dy\,dx.

Passo 6

Calcular a integral iterada passo a passo.
Integre primeiro em y:
\int_{y=x^{2}-7}^{\,x-1} 5x\,dy = 5x\bigl[(x-1)-(x^{2}-7)\bigr] =5x\bigl(-x^{2}+x+6\bigr).
Expanda:
5x\bigl(-x^{2}+x+6\bigr) = -5x^{3}+5x^{2}+30x.
Agora integre em x de -2 a 3:
\int_{-2}^{3}\bigl(-5x^{3}+5x^{2}+30x\bigr)\,dx.
Ache uma antiderivada:
\int\bigl(-5x^{3}+5x^{2}+30x\bigr)\,dx = -\frac{5}{4}x^{4}+\frac{5}{3}x^{3}+15x^{2} + C.
Avalie nos limites x=-2 e x=3.
Para x=3:
-\frac{5}{4}\cdot 3^{4} + \frac{5}{3}\cdot 3^{3} + 15\cdot 3^{2} = -\frac{5}{4}\cdot 81 + \frac{5}{3}\cdot 27 + 15\cdot 9.
Calcule cada termo:
-\frac{5}{4}\cdot 81 = -\frac{405}{4},\qquad \frac{5}{3}\cdot 27 = 45,\qquad 15\cdot 9 = 135.
Somando:
-\frac{405}{4} + 45 + 135 = -\frac{405}{4} + 180 = \frac{720-405}{4} = \frac{315}{4}.
Para x=-2:
-\frac{5}{4}\cdot (-2)^{4} + \frac{5}{3}\cdot (-2)^{3} + 15\cdot (-2)^{2} = -\frac{5}{4}\cdot 16 + \frac{5}{3}\cdot (-8) + 15\cdot 4.
Calcule cada termo:
-\frac{5}{4}\cdot 16 = -20,\qquad \frac{5}{3}\cdot (-8) = -\frac{40}{3},\qquad 15\cdot 4 = 60.
Somando:
-20 -\frac{40}{3} + 60 = 40 -\frac{40}{3} = \frac{120-40}{3} = \frac{80}{3}.
Agora a integral em x é a diferença:
\int_{-2}^{3}\bigl(-5x^{3}+5x^{2}+30x\bigr)\,dx = \frac{315}{4} - \frac{80}{3}.
Colocando em denominar comum 12:
\frac{315}{4} - \frac{80}{3} = \frac{945}{12} - \frac{320}{12} = \frac{625}{12}.
Lembre-se do sinal negativo da Passo 5 (pela orientação horário): portanto a integral de linha pedida é
- \frac{625}{12}.

Passo 7

Interpretação final e checagem rápida (pôr-se no lugar do aluno): o processo usou a transformação de integral de linha fechada em integral dupla (fórmula que reduz muito o trabalho quando a região é fácil de descrever). Conferi que a parábola fica abaixo da reta no intervalo e que a orientação dada no enunciado é horário — por isso veio o sinal negativo no final. É normal ficar confuso com o sentido; uma dica prática para provas: desenhe rapidamente os dois ramos e marque um ponto interior e veja se ele fica à esquerda (anti-horário) ou à direita (horário) do movimento ao longo de uma aresta.

Resposta

-\dfrac{625}{12}

Exercícios relacionados