Use o teorema de Green para calcular
, onde
é o segmento de reta que liga o ponto
a
e a parábola
de
a
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde a curva
é fechada e composta por duas partes ligando os pontos
e
:
- o segmento de reta
(ou seja, de até ); - a parábola
que vai de a (ou seja, de até ).
Informações relevantes que temos:
- Os pontos finais coincidem com os pontos da parábola:
e . - A reta que liga
a tem equação (verificação rápida: passa por e ). - A curva fechada
é formada por duas curvas que delimitam a região entre a parábola (embaixo) e a reta (embaixo/embaixo? vamos confirmar depois) para entre e .
O que é pedido: o valor numérico da integral de linha dada ao longo de
.
Passo 2
Escolha do método (explicando por quê, do jeito mais prático para a prova).
Uma maneira eficiente é usar uma fórmula que transforma uma integral de linha ao longo de uma curva fechada numa integral dupla sobre a região que ela encerra. Essa fórmula (que vamos usar sem nomeá-la aqui) exige:
Uma maneira eficiente é usar uma fórmula que transforma uma integral de linha ao longo de uma curva fechada numa integral dupla sobre a região que ela encerra. Essa fórmula (que vamos usar sem nomeá-la aqui) exige:
- funções
e suficientemente suaves na região, - a curva fechada
orientada de forma fechada (atenção ao sentido: horário ou anti-horário).
No nosso integrando, identifique:
A ideia é calcular
e
, formar
e integrar essa diferença sobre a região
entre as duas curvas. Vou mostrar passo a passo como fazer e também como tratar o sentido (horário/anti-horário), porque isso troca o sinal da resposta se estivermos no sentido horário.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais e montar o integrando da integral dupla.
Calcule:
Portanto
Esse será o integrando da integral dupla sobre a região
(com sinal conforme a orientação de
).
Passo 4
Determinar claramente a região
e o sentido de percurso da fronteira
.
A região
é a região entre as curvas
e
com
variando entre os pontos de interseção
e
. Logo os limites são
e, para cada
,
Agora o sentido: o enunciado especifica que o segmento de reta vai de
para
e a parábola vai de
para
. Precisamos saber se essa orientação é positiva (anti-horária) ou negativa (horária), porque a fórmula troca de sinal se for horária.
Compare as duas curvas no intervalo
. Considere a diferença
Entre
e
essa expressão é negativa (teste: em
dá
), então
Ou seja, a parábola está abaixo da reta nesse intervalo; a reta é a fronteira superior e a parábola é a fronteira inferior.
Agora examine a orientação dada: percorre-se a reta de
para
(ou seja, da esquerda para a direita no bordo superior) e depois retorna pela parábola de
para
(da direita para a esquerda, no bordo inferior). Para saber se isto é horário ou anti-horário, pense no ponto interno
(por exemplo): ao andar pela reta de
para
o interior da região fica à direita do sentido do percurso. Isso caracteriza uma orientação horário (negativa). Portanto a orientação dada é horário.
Conclusão importante: a fórmula padrão (que dá linha integral = integral dupla) assume orientação anti-horária; como a orientação dada é horário, a integral de linha pedida vale o negativo da integral dupla de
sobre
.
Passo 5
Montar a integral dupla correspondente (com o sinal correto).
Como a orientação é horário, temos
Com os limites descritos em
e
:
Passo 6
Calcular a integral iterada passo a passo.
Integre primeiro em
:
Expanda:
Agora integre em
de
a
:
Ache uma antiderivada:
Avalie nos limites
e
.
Para
:
Calcule cada termo:
Somando:
Para
:
Calcule cada termo:
Somando:
Agora a integral em
é a diferença:
Colocando em denominar comum
:
Lembre-se do sinal negativo da Passo 5 (pela orientação horário): portanto a integral de linha pedida é
Passo 7
Interpretação final e checagem rápida (pôr-se no lugar do aluno): o processo usou a transformação de integral de linha fechada em integral dupla (fórmula que reduz muito o trabalho quando a região é fácil de descrever). Conferi que a parábola fica abaixo da reta no intervalo e que a orientação dada no enunciado é horário — por isso veio o sinal negativo no final. É normal ficar confuso com o sentido; uma dica prática para provas: desenhe rapidamente os dois ramos e marque um ponto interior e veja se ele fica à esquerda (anti-horário) ou à direita (horário) do movimento ao longo de uma aresta.