Considere a integral de linha
.
Determine a constante
para que esta integral seja independente do caminho.
Determine a constante
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral de linha do tipo
. O objetivo é encontrar o valor da constante
que faz essa integral ser independente do caminho que escolhemos. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, mais especificamente, o campo conservativo. Pra isso, vamos precisar usar as derivadas parciais e as condições para um campo ser conservativo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções que multiplicam
e
na integral. Vamos chamar:
Essas funções
e
formam o campo vetorial
.
Passo 3
Para que o campo
seja conservativo, as derivadas parciais precisam satisfazer a condição:
Vamos calcular essas derivadas.
Primeiro, a derivada de
em relação a
:
Agora, a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Agora, igualamos as duas derivadas parciais para satisfazer a condição de conservatividade:
Vamos resolver essa equação para encontrar
. Primeiro, distribuímos
:
Agora, juntamos os termos semelhantes:
Fatoramos
e
:
Para que essa igualdade valha para todos os valores de
e
, os coeficientes de
e
devem ser iguais e independentes um do outro. Isso só acontece se ambos os lados forem zero, ou seja:
Resolvendo para
:
E de fato, isso também satisfaz a segunda equação.
Resposta
O valor de
que torna a integral independente do caminho é
.