Considere a integral de linha integralC(y^3-3 x y) d x+k(x^2-2 x y^2) d y.
Determine a constante k para que esta integral seja independente do caminho.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral de linha do tipo integralC(y^3-3 x y) dx + k(x^2-2 x y^2) dy. O objetivo é encontrar o valor da constante k que faz essa integral ser independente do caminho que escolhemos. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, mais especificamente, o campo conservativo. Pra isso, vamos precisar usar as derivadas parciais e as condições para um campo ser conservativo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que multiplicam dx e dy na integral. Vamos chamar:
M(x, y) = y^3 - 3xy
N(x, y) = k(x^2 - 2xy^2)
Essas funções M e N formam o campo vetorial F = M,i + N,j.

Passo 3

Para que o campo F seja conservativo, as derivadas parciais precisam satisfazer a condição:
partial Mpartial y = partial Npartial x
Vamos calcular essas derivadas.
Primeiro, a derivada de M em relação a y:
partial Mpartial y = partialpartial y(y^3 - 3xy) = 3y^2 - 3x
Agora, a derivada de N em relação a x:
partial Npartial x = partialpartial x(k(x^2 - 2xy^2)) = k(2x - 2y^2)

Passo 4

Agora, igualamos as duas derivadas parciais para satisfazer a condição de conservatividade:
3y^2 - 3x = k(2x - 2y^2)
Vamos resolver essa equação para encontrar k. Primeiro, distribuímos k:
3y^2 - 3x = 2k x - 2k y^2
Agora, juntamos os termos semelhantes:
3y^2 + 2k y^2 = 2k x + 3x
Fatoramos y^2 e x:
y^2(3 + 2k) = x(2k + 3)
Para que essa igualdade valha para todos os valores de x e y, os coeficientes de y^2 e x devem ser iguais e independentes um do outro. Isso só acontece se ambos os lados forem zero, ou seja:
3 + 2k = 0 e 2k + 3 = 0
Resolvendo para k:
3 + 2k = 0 Rightarrow k = -32
E de fato, isso também satisfaz a segunda equação.

Resposta

O valor de k que torna a integral independente do caminho é k = -32.

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