Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças
F(x, y)=(x^2, x y)=x^2 i+x y j
sobre cada uma as trajetórias distintas
s(t) & =(1-t, t)=(1-t) i+t j, para 0 <= t <= 1 e r(t) & =(cos (t), sin (t))=cos (t) i+sin (t) j, para 0 <= t <= pi2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de trabalho realizado por um campo de forças. O enunciado nos dá o campo de forças e duas trajetórias diferentes: uma reta e uma parte de um círculo. Vamos precisar entender como calcular o trabalho usando integrais de linha, que basicamente somam as forças ao longo do caminho percorrido.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o trabalho para a trajetória , onde varia de 0 a 1. Essa trajetória é uma reta que vai de até .

Passo 3

Para calcular o trabalho, usamos a fórmula da integral de linha:
W = integrala^b F(s(t)) cdot s'(t) , dt
Primeiro, encontramos s'(t) = ddt(1-t, t) = (-1, 1) , que é a derivada de F(s(t)) = ((1-t)^2, (1-t) cdot t) = ((1-t)^2, t(1-t)) em relação a F(s(t)) cdot s'(t) = (1-t)^2 cdot (-1) + t(1-t) cdot 1 = - (1 - 2t + t^2) + t - t^2 = -1 + 2t - t^2 + t - t^2 = -1 + 3t - 2t^2 :
W = integral0^1 (-1 + 3t - 2t^2) , dt = [ -t + 32t^2 - 23t^3 ]0^1 = ( -1 + 32 - 23 ) - 0 = -1 + 1.5 - 0.666 = -0.166
Agora, substituímos W = -16 no campo de forças :
Calculamos o produto escalar :
Agora, integramos de 0 a 1:
Convertendo para fração:

Passo 4

Agora, vamos calcular o trabalho para a trajetória , onde varia de 0 a . Essa trajetória é um quarto de círculo que vai de até .

Passo 5

Usamos novamente a fórmula da integral de linha:
W = integrala^b F(r(t)) cdot r'(t) , dt
Primeiro, encontramos r'(t) = ddt(cos(t), sin(t)) = (-sin(t), cos(t)) , que é a derivada de F(r(t)) = (cos^2(t), cos(t) sin(t)) em relação a F(r(t)) cdot r'(t) = cos^2(t) cdot (-sin(t)) + cos(t) sin(t) cdot cos(t) = -cos^2(t) sin(t) + cos^2(t) sin(t) = 0 :
Substituímos no campo de forças :
Calculamos o produto escalar :
Como o integrando é zero, o trabalho realizado ao longo dessa trajetória é zero.

Resposta

O trabalho realizado pelo campo de forças na trajetória é . Já na trajetória , o trabalho realizado �� .

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