Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças
sobre cada uma as trajetórias distintas
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de trabalho realizado por um campo de forças. O enunciado nos dá o campo de forças
e duas trajetórias diferentes: uma reta e uma parte de um círculo. Vamos precisar entender como calcular o trabalho usando integrais de linha, que basicamente somam as forças ao longo do caminho percorrido.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o trabalho para a trajetória
, onde
varia de 0 a 1. Essa trajetória é uma reta que vai de
até
.
Passo 3
Para calcular o trabalho, usamos a fórmula da integral de linha:
Primeiro, encontramos
, que é a derivada de
em relação a
:
Agora, substituímos
no campo de forças
:
Calculamos o produto escalar
:
Agora, integramos de 0 a 1:
Convertendo para fração:
Passo 4
Agora, vamos calcular o trabalho para a trajetória
, onde
varia de 0 a
. Essa trajetória é um quarto de círculo que vai de
até
.
Passo 5
Usamos novamente a fórmula da integral de linha:
Primeiro, encontramos
, que é a derivada de
em relação a
:
Substituímos
no campo de forças
:
Calculamos o produto escalar
:
Como o integrando é zero, o trabalho realizado ao longo dessa trajetória é zero.
Resposta
O trabalho realizado pelo campo de forças
na trajetória
é
. Já na trajetória
, o trabalho realizado ��
.