Construir os gráficos das funções abaixo. Determinar a interseção com os eixos coordenados. Indique o domínio e a imagem das funções.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa construir o gráfico da função
, encontrar onde ela cruza os eixos coordenados e dizer qual é o domínio e a imagem dessa função. Para isso, vamos trabalhar com funções quadráticas e usar um pouco de álgebra e geometria.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a interseção com o eixo y. Isso acontece quando
. Então, substituímos:
Então, a função cruza o eixo y no ponto
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar onde a função cruza o eixo x. Isso acontece quando
. Então, resolvemos a equação:
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver. Vamos tentar fatorar:
Então,
Portanto, a função cruza o eixo x no ponto
. Note que ela toca o eixo x apenas nesse ponto, pois a solução é única (raízes duplas).
Passo 4
Para desenhar o gráfico, é legal saber onde está o vértice da parábola. A fórmula do vértice para uma função quadrática
é:
No nosso caso,
e
:
Agora, substituímos
na função para achar
:
Então, o vértice está no ponto
, que já vimos ser onde a parábola toca o eixo x.
Passo 5
Vamos falar sobre o domínio e a imagem da função:
- Domínio: É o conjunto de todos os valores que
pode assumir. Como não há restrições na nossa função quadrática, o domínio é todos os números reais:
- Imagem: É o conjunto de todos os valores que
pode assumir. Como a parábola abre para cima (o coeficiente de é positivo) e o vértice está em , o menor valor de é 0 e pode crescer infinitamente:
Resposta
A função
tem seu gráfico uma parábola que cruza o eixo y no ponto
e toca o eixo x no ponto
. O domínio da função é todos os números reais
e a imagem é o conjunto de números reais maiores ou iguais a 0, ou seja,
.