Construir os gráficos das funções abaixo. Determinar a interseção com os eixos coordenados. Indique o domínio e a imagem das funções.
(9) y=x^2+4 x+4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa construir o gráfico da função , encontrar onde ela cruza os eixos coordenados e dizer qual é o domínio e a imagem dessa função. Para isso, vamos trabalhar com funções quadráticas e usar um pouco de álgebra e geometria.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a interseção com o eixo y. Isso acontece quando y = (0)^2 + 4(0) + 4 = 4 . Então, substituímos:
Então, a função cruza o eixo y no ponto .

Passo 3

Agora, vamos encontrar onde a função cruza o eixo x. Isso acontece quando 0 = x^2 + 4x + 4 . Então, resolvemos a equação:
x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver. Vamos tentar fatorar:
(x + 2)^2 = 0 implies x + 2 = 0 implies x = -2
Então,
Portanto, a função cruza o eixo x no ponto . Note que ela toca o eixo x apenas nesse ponto, pois a solução é única (raízes duplas).

Passo 4

Para desenhar o gráfico, é legal saber onde está o vértice da parábola. A fórmula do vértice para uma função quadrática xv = -b2a é:
xv = -42 times 1 = -2
No nosso caso, yv = (-2)^2 + 4(-2) + 4 = 4 - 8 + 4 = 0 e :
Agora, substituímos na função para achar :
Então, o vértice está no ponto , que já vimos ser onde a parábola toca o eixo x.

Passo 5

Vamos falar sobre o domínio e a imagem da função:
  • Domínio: É o conjunto de todos os valores que Domínio = R pode assumir. Como não há restrições na nossa função quadrática, o domínio é todos os números reais:
Ima>=m = [0, +infty) í
  • Imagem: É o conjunto de todos os valores que pode assumir. Como a parábola abre para cima (o coeficiente de é positivo) e o vértice está em , o menor valor de é 0 e pode crescer infinitamente:

Resposta

A função tem seu gráfico uma parábola que cruza o eixo y no ponto e toca o eixo x no ponto . O domínio da função é todos os números reais e a imagem é o conjunto de números reais maiores ou iguais a 0, ou seja, .

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