Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças F na partícula que se move o longo da curva C. (Ex 45 a 48)
F(x, y, z)=(x cdot y) cdot i+(y cdot z) cdot j+(x cdot z) cdot k C: r(t)=t cdot i+t^2 cdot j+t^3 cdot k (0 <= t <= 1)

Passo 1

O enunciado pede o trabalho realizado pelo campo de forças F(x,y,z)=(xy), i+(yz), j+(xz), k ao longo da curva C parametrizada por
r(t)=(t,;t^2,;t^3),
com 0<= t<=1. O conteúdo é integral de linha de um campo vetorial, e vamos precisar calcular r'(t), avaliar F em r(t), formar o produto escalar F( r(t))cdot r'(t) e integrar de 0 a 1.

Passo 2

Calculamos a derivada da parametrização e avaliamos o campo em r(t).
A derivada é
r'(t)=l(1,;2t,;3t^2r)
Substituindo l(x,y,zr)=(t,t^2,t^3) em F, obtemos
Fl( r(t)r)=l(tcdot t^2,;t^2cdot t^3,;tcdot t^3r) =(t^3,;t^5,;t^4)

Passo 3

Formamos o integrando do trabalho, que é o produto escalar F( r(t))cdot r'(t):
F( r(t))cdot r'(t) = t^3cdot1 + t^5cdot(2t) + t^4cdot(3t^2) = t^3 + 2t^6 + 3t^6 = t^3 + 5t^6

Passo 4

Integramos de t=0 a t=1:
W = integral0^1l(t^3 + 5t^6r),dt = integral0^1t^3,dt + 5integral0^1t^6,dt = l[t^44r]0^1 + 5l[t^77r]0^1 = 14 + 57 = 7+2028 = 2728

Resposta

O trabalho realizado é 2728.

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