Mostre que a função
é diferenciável no ponto (1,2) e determine
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para mostrar que
é diferenciável em
e determinar
. O conteúdo aqui é diferenciabilidade de funções de duas variáveis; vamos usar cálculo de derivadas parciais, construir a aproximação linear e verificar que o resto é de ordem superior a primeira em
.
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais gerais de
:
Passo 3
Avalie as parciais em
:
A aproximação linear em torno de
para um incremento
é
Passo 4
Calcule o resto
Expandindo
e subtraindo
e
, obtém-se
Passo 5
Para mostrar que
é de ordem superior a
, note que cada termo em
é pelo menos quadrático em
. Em particular, existe
tal que para
pequeno,
Logo
o que mostra que o erro é
e, portanto,
é diferenciável em
.
Passo 6
Concluímos que
é diferenciável em
e que a diferencial (ou jacobiano) em
é o funcional linear
Resposta
isto é, o gradiente em
é
.