Mostre que a função f(x, y)=x^2 y+x y^2 é diferenciável no ponto (1,2) e determine f^prime(1,2).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=x^2y + x y^2
e pede para mostrar que f é diferenciável em (1,2) e determinar f'(1,2). O conteúdo aqui é diferenciabilidade de funções de duas variáveis; vamos usar cálculo de derivadas parciais, construir a aproximação linear e verificar que o resto é de ordem superior a primeira em |(h,k)|.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais gerais de f:
partial fpartial x(x,y) =2x y + y^2, partial fpartial y(x,y) =x^2 + 2x y

Passo 3

Avalie as parciais em (1,2):
partial fpartial x(1,2) =2cdot1cdot2 + 2^2=4+4=8, partial fpartial y(1,2) =1^2 + 2cdot1cdot2=1+4=5
A aproximação linear em torno de (1,2) para um incremento (h,k) é
L(h,k)=8,h + 5,k

Passo 4

Calcule o resto
R(h,k) =f(1+h,2+k)-f(1,2)-L(h,k)
Expandindo f(1+h,2+k) e subtraindo f(1,2)=6 e 8h+5k, obtém-se
R(h,k)=2h^2 + k^2 + 6hk + h^2k + h k^2

Passo 5

Para mostrar que R(h,k) é de ordem superior a raizh^2+k^2, note que cada termo em R é pelo menos quadrático em (h,k). Em particular, existe C>0 tal que para |(h,k)| pequeno,
|R(h,k)|<= C,(h^2+|hk|+k^2) <= C',(h^2+k^2) = C',|(h,k)|^2
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lim(h,k)to(0,0) R(h,k)raizh^2+k^2 <= lim(h,k)to(0,0) C',|(h,k)|^2|(h,k)| =0,
o que mostra que o erro é o(|(h,k)|) e, portanto, f é diferenciável em (1,2).

Passo 6

Concluímos que f é diferenciável em (1,2) e que a diferencial (ou jacobiano) em (1,2) é o funcional linear
f'(1,2)(h,k)=8,h+5,k

Resposta

f é diferenciável em (1,2) e
f'(1,2)(h,k)=8,h + 5,k,
isto é, o gradiente em (1,2) é nabla f(1,2)=(8,5).

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