Encontre uma solução geral para a equação diferencial abaixo pelo método de sua preferência.
d yd t=e^2 y+3 t

Passo 1

Beleza, o enunciado pede: “Encontre a solução geral da EDO
dydt = e^2y + 3t
Aqui o conteúdo é Equações Diferenciais de Variáveis Separáveis. Vamos precisar separar a parte que tem y daquela que tem t e depois integrar cada lado.

Passo 2

Primeiro, reconhecemos que dá pra escrever
e^2y+3t = e^2ycdot e^3t
Isso mostra que podemos juntar todo ,y-dependente de um lado (multiplicando por dt e dividindo por e^2y) e o resto do outro lado. Ou seja:
dydt = e^2ye^3t Longrightarrow dye^2y = e^3t,dt
Isso é “separar variáveis”.

Passo 3

Agora a gente integra dos dois lados. Lado esquerdo em y, lado direito em t:
integral dye^2y ;=;integral e^3t,dt
Teoria rápida: ,1e^2y=e^-2y e a integral de e^ax é tfrac1a e^ax.
Então
integral e^-2y ,dy = -tfrac12,e^-2y + C1, integral e^3t,dt = tfrac13,e^3t + C2
Podemos juntar as constantes num só C.

Passo 4

Igualando as duas antiderivadas (colocando todas as constantes num lado só):
-tfrac12,e^-2y = tfrac13,e^3t + C
Multiplico por -2:
e^-2y = -tfrac23,e^3t + C',
onde C'=-2C é outra constante arbitrária. Agora isolamos y. Primeiro tome ln:
-2y = ln!l(C' - tfrac23 e^3tr) Longrightarrow y = -tfrac12 ln!l(C' - tfrac23 e^3tr)

Resposta

A solução geral é
boxedy(t) = -12 ,ln!l(C - tfrac23,e^3tr),
onde C é a constante de integração.

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