Dadas as funções diferenciáveis u, v: R^3 R mostre que nabla(u v)=u nabla v+v nabla u.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a regra do produto para o gradiente de duas funções escalares diferenciáveis u,v:R^3toR, ou seja, provar que
nablal(ucdot vr)=u,nabla v+v,nabla u
Vamos usar a definição de gradiente e a regra do produto para derivadas parciais.

Passo 2

Recordando a definição de gradiente: se w:R^3toR é diferenciável, então
nabla w = gl(partial wpartial x1,,partial wpartial x2,,partial wpartial x3gr)
Ou seja, cada componente do vetor gradiente é a derivada parcial de w em relação a uma das variáveis.

Passo 3

Definimos w(x)=u(x),v(x). Para cada componente iin1,2,3, aplicamos a regra do produto às derivadas parciais:
partialpartial xil(u,vr) = partial upartial xi,v + u,partial vpartial xi
Isso vale porque, ao derivar em relação a xi, as outras variáveis ficam constantes e usamos a conhecida regra do produto de funções de uma variável.

Passo 4

Reunindo todas as componentes no vetor gradiente, obtemos
nablal(u,vr) = l(partial1(u,v),,partial2(u,v),,partial3(u,v)r) = l(v,partial1u+u,partial1v,;v,partial2u+u,partial2v,;v,partial3u+u,partial3vr)
Mas isso é exatamente
u,nabla v+v,nabla u

Resposta

nablal(u,vr)=u,nabla v+v,nabla u

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