Dadas as funções diferenciáveis
mostre que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a regra do produto para o gradiente de duas funções escalares diferenciáveis
, ou seja, provar que
Vamos usar a definição de gradiente e a regra do produto para derivadas parciais.
Passo 2
Recordando a definição de gradiente: se
é diferenciável, então
Ou seja, cada componente do vetor gradiente é a derivada parcial de
em relação a uma das variáveis.
Passo 3
Definimos
. Para cada componente
, aplicamos a regra do produto às derivadas parciais:
Isso vale porque, ao derivar em relação a
, as outras variáveis ficam constantes e usamos a conhecida regra do produto de funções de uma variável.
Passo 4
Reunindo todas as componentes no vetor gradiente, obtemos
Mas isso é exatamente