Encontre a circulação (trabalho realizado em uma curva fechada) F(x, y)=(x y, y) ao redor e através da curva a seguir x^2+y^2=4.
Circulação =W=ointC F T d s

Passo 1

O enunciado pede a circulação
W=ointCFcdot T,ds
do campo vetorial
F(x,y)=(P,Q)=(x,y,;y)
ao longo da curva fechada
C:;x^2+y^2=4,
que é o círculo de raio 2. O conteúdo que vamos usar é o Teorema de Green, que transforma a integral de linha fechada numa integral dupla sobre a região interna.

Passo 2

Pelo Teorema de Green, se C é percorrida no sentido anti-hor’ario,
ointC P,dx + Q,dy = integral duplaD l( partial Qpartial x - partial Ppartial y r) , dA,
onde D é o disco x^2 + y^2 <= 4.

Passo 3

Aqui P(x,y)=x,y e Q(x,y)=y. Calculamos as derivadas parciais:
partial Qpartial x =partial (y)partial x=0, partial Ppartial y =partial (x,y)partial y=x
Logo o integrando de Green é
partial Qpartial x-partial Ppartial y =0 - x = -,x

Passo 4

Aplicamos então
W =integral duplaD(-x),dA,
com D sendo o disco de raio 2.

Passo 5

Podemos ver por simetria que
integral duplaDx,dA=0,
pois a região é simétrica em relação ao eixo y e x muda de sinal. Logo
integral duplaD(-x),dA =-integral duplaDx,dA =0

Passo 6

Concluímos que a circulação do campo F ao longo de C é nula:
W=0

Resposta

0

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