Seja dada a integral de linha ointC F T d s com F(x, y)=(-yx^2+y^2, xx^2+y^2).
Calcule a integral para C : alpha(t)=(cos (t), sin (t)), 0 <= t <= 2 pi.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha fechada
ointCFcdot T,ds
onde F(x,y)=l(tfrac-yx^2+y^2,tfracxx^2+y^2r) e C é a circunferência unitária parametrizada por alpha(t)=(cos t,sin t) para 0<= t<=2pi.
O conteúdo é integral de linha de campo vetorial em curva parametrizada; vamos usar a parametrização para escrever
ointCFcdot dr=integral0^2piFl(alpha(t)r)cdotalpha'(t),dt

Passo 2

Parametrizamos C por
alpha(t)=(cos t,sin t),
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alpha'(t)=(-sin t,cos t)
Em alpha(t) temos x^2+y^2=cos^2t+sin^2t=1, então
Fl(alpha(t)r) =l(tfrac-sin t1,tfraccos t1r) =(-sin t,cos t)

Passo 3

O integrando fica
Fl(alpha(t)r)cdotalpha'(t) =(-sin t)cdot(-sin t)+(cos t)cdot(cos t) =sin^2t+cos^2t=1

Passo 4

Portanto
ointCFcdot dr =integral0^2pi1,dt =2pi

Resposta

2pi

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