Um fio ocupa a parábola \mathrm{y}=\mathrm{x}^{2} de \mathrm{x}=0 até \mathrm{x}=1. A densidade linear é \delta(\mathrm{x}, \mathrm{y})=2+\mathrm{y}. Calcule a massa total do fio.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • O fio está sobre a parábola y=x^{2} para x variando de 0 até 1.
  • A densidade linear do fio (massa por unidade de comprimento) é \delta(x,y)=2+y.
  • O que se pede: calcular a massa total do fio (ou seja, a massa acumulada ao longo da curva).
Informações úteis que extraio do enunciado:
\;y=x^{2},\; x\in[0,1].
\;\delta(x,y)=2+y.
Objetivo final: massa m= (valor numérico / expressão simbólica).

Passo 2

Conceito e fórmula que usamos: a massa de um fio com densidade linear \delta sobre uma curva C é
m=\int_{C}\delta\,ds,
onde ds é o elemento de comprimento ao longo da curva. Se parametrizarmos a curva por x (quando isso é conveniente), com \;y=y(x) e x variando em [a,b], então
ds=\sqrt{\left(\frac{dx}{dx}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}}\,dx=\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}}\,dx.
Aqui dx é o incremento na coordenada x e \frac{dy}{dx} é a derivada de y em relação a x. Essa fórmula vem simplesmente do fato de que um pequeno segmento de curva tem comprimento \sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}.

Passo 3

Aplicando ao nosso caso: a curva é y=x^{2}, então \frac{dy}{dx}=2x. Portanto
ds=\sqrt{1+(2x)^{2}}\,dx=\sqrt{1+4x^{2}}\,dx.
A densidade ao longo da curva, em função de x, é
\delta(x,y)=2+y=2+x^{2}.
Logo a massa total é a integral
m=\int_{0}^{1} (2+x^{2})\sqrt{1+4x^{2}}\,dx.
Agora precisamos calcular essa integral definida. Vou mostrar um caminho organizado para resolvê-la.

Passo 4

Primeira manipulação útil: faça a substituição hiperbólica x=\tfrac{1}{2}\operatorname{sinh} t. Motivo: \sqrt{1+4x^{2}}=\sqrt{1+\operatorname{sinh}^{2}t}=\operatorname{cosh} t, e isso simplifica bastante. Calculemos os elementos:
  • Se x=\tfrac{1}{2}\operatorname{sinh} t então dx=\tfrac{1}{2}\operatorname{cosh} t\,dt.
  • Quando x=0 temos t=0.
  • Quando x=1 temos \operatorname{sinh} t = 2, portanto t=T com
T=\operatorname{arsinh}(2)=\ln\bigl(2+\sqrt{5}\bigr).
Reescrevendo a integral em t:
m=\int_{0}^{1} (2+x^{2})\sqrt{1+4x^{2}}\,dx =\int_{t=0}^{T}\Bigl(2+\tfrac{1}{4}\operatorname{sinh}^{2}t\Bigr)\operatorname{cosh} t\cdot\Bigl(\tfrac{1}{2}\operatorname{cosh} t\Bigr)\,dt.
Multiplicando os fatores:
m=\tfrac{1}{2}\int_{0}^{T}\Bigl(2+\tfrac{1}{4}\operatorname{sinh}^{2}t\Bigr)\operatorname{cosh}^{2}t\,dt =\tfrac{1}{2}\int_{0}^{T}\Bigl(2\operatorname{cosh}^{2}t+\tfrac{1}{4}\operatorname{sinh}^{2}t\operatorname{cosh}^{2}t\Bigr)\,dt.

Passo 5

Agora calculamos as integrais que aparecem usando identidades hiperbólicas simples.
Identidades usadas:
\operatorname{cosh}^{2}t=\tfrac{1}{2}(1+\operatorname{cosh} 2t),\qquad \operatorname{sinh}^{2}t=\tfrac{1}{2}(\operatorname{cosh} 2t-1),
e \operatorname{sinh} 2t=2\operatorname{sinh} t\operatorname{cosh} t, \operatorname{cosh} 2t=2\operatorname{cosh}^{2}t-1.
Definimos duas integrais auxiliares:
I_{1}=\int_{0}^{T}\operatorname{cosh}^{2}t\,dt,\qquad I_{2}=\int_{0}^{T}\operatorname{sinh}^{2}t\operatorname{cosh}^{2}t\,dt.
Calcule I_{1}:
I_{1}=\int_{0}^{T}\tfrac{1}{2}(1+\operatorname{cosh} 2t)\,dt =\tfrac{1}{2}\Bigl[t+\tfrac{1}{2}\operatorname{sinh} 2t\Bigr]_{0}^{T} =\tfrac{T}{2}+\tfrac{1}{4}\operatorname{sinh} 2T.
Calcule I_{2}. Note que \operatorname{sinh}^{2}t\operatorname{cosh}^{2}t=\tfrac{1}{4}\operatorname{sinh}^{2}2t. Então
I_{2}=\tfrac{1}{4}\int_{0}^{T}\operatorname{sinh}^{2}2t\,dt =\tfrac{1}{4}\int_{0}^{T}\tfrac{1}{2}(\operatorname{cosh} 4t-1)\,dt =\tfrac{1}{8}\Bigl[\tfrac{1}{4}\operatorname{sinh} 4t - t\Bigr]_{0}^{T} =\tfrac{1}{32}\operatorname{sinh} 4T - \tfrac{T}{8}.
Voltando para m:
m=\tfrac{1}{2}\Bigl(2I_{1}+\tfrac{1}{4}I_{2}\Bigr).
Substituindo I_{1} e I_{2}:
2I_{1}=T+\tfrac{1}{2}\operatorname{sinh} 2T,\qquad \tfrac{1}{4}I_{2}=\tfrac{1}{4}\Bigl(\tfrac{1}{32}\operatorname{sinh} 4T - \tfrac{T}{8}\Bigr) =\tfrac{1}{128}\operatorname{sinh} 4T - \tfrac{T}{32}.
Somando e multiplicando por \tfrac{1}{2}:
m=\tfrac{1}{2}\Bigl(T+\tfrac{1}{2}\operatorname{sinh} 2T + \tfrac{1}{128}\operatorname{sinh} 4T - \tfrac{T}{32}\Bigr) =\tfrac{31}{64}T+\tfrac{1}{4}\operatorname{sinh} 2T + \tfrac{1}{256}\operatorname{sinh} 4T.

Passo 6

Fazer as simplificações finais usando T=\operatorname{arsinh}(2). Sabemos:
\operatorname{sinh} T=2,\qquad \operatorname{cosh} T=\sqrt{1+\operatorname{sinh}^{2}T}=\sqrt{5}.
Assim
\operatorname{sinh} 2T=2\operatorname{sinh} T\operatorname{cosh} T=2\cdot 2\cdot\sqrt{5}=4\sqrt{5},
e
\operatorname{cosh} 2T=2\operatorname{cosh}^{2}T-1=2\cdot 5 -1=9.
Logo
\operatorname{sinh} 4T=2\operatorname{sinh} 2T\operatorname{cosh} 2T=2\cdot(4\sqrt{5})\cdot 9=72\sqrt{5}.
Substituindo \operatorname{sinh} 2T e \operatorname{sinh} 4T em m:
m=\tfrac{31}{64}T+\tfrac{1}{4}\cdot 4\sqrt{5}+\tfrac{1}{256}\cdot 72\sqrt{5} =\tfrac{31}{64}T+\sqrt{5}+\tfrac{72}{256}\sqrt{5}.
Simplificando \tfrac{72}{256}=\tfrac{9}{32}:
m=\tfrac{31}{64}T+\Bigl(1+\tfrac{9}{32}\Bigr)\sqrt{5} =\tfrac{31}{64}T+\tfrac{41}{32}\sqrt{5}.
Lembrando T=\operatorname{arsinh}(2)=\ln\bigl(2+\sqrt{5}\bigr), obtemos a expressão final.

Resposta

\displaystyle m=\frac{31}{64}\ln\bigl(2+\sqrt{5}\bigr)+\frac{41}{32}\sqrt{5}

Exercícios relacionados