Um fio ocupa a parábola
de
até
. A densidade linear é
. Calcule a massa total do fio.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- O fio está sobre a parábola
para variando de até . - A densidade linear do fio (massa por unidade de comprimento) é
. - O que se pede: calcular a massa total do fio (ou seja, a massa acumulada ao longo da curva).
Informações úteis que extraio do enunciado:
.
.
Objetivo final: massa (valor numérico / expressão simbólica).
Objetivo final: massa
Passo 2
Conceito e fórmula que usamos: a massa de um fio com densidade linear
sobre uma curva
é
onde
é o elemento de comprimento ao longo da curva. Se parametrizarmos a curva por
(quando isso é conveniente), com
e
variando em
, então
Aqui
é o incremento na coordenada
e
é a derivada de
em relação a
. Essa fórmula vem simplesmente do fato de que um pequeno segmento de curva tem comprimento
.
Passo 3
Aplicando ao nosso caso: a curva é
, então
. Portanto
A densidade ao longo da curva, em função de
, é
Logo a massa total é a integral
Agora precisamos calcular essa integral definida. Vou mostrar um caminho organizado para resolvê-la.
Passo 4
Primeira manipulação útil: faça a substituição hiperbólica
. Motivo:
, e isso simplifica bastante. Calculemos os elementos:
- Se
então . - Quando
temos . - Quando
temos , portanto com
Reescrevendo a integral em
:
Multiplicando os fatores:
Passo 5
Agora calculamos as integrais que aparecem usando identidades hiperbólicas simples.
Identidades usadas:
e
,
.
Definimos duas integrais auxiliares:
Calcule
:
Calcule
. Note que
. Então
Voltando para
:
Substituindo
e
:
Somando e multiplicando por
:
Passo 6
Fazer as simplificações finais usando
. Sabemos:
Assim
e
Logo
Substituindo
e
em
:
Simplificando
:
Lembrando
, obtemos a expressão final.