Calcule o trabalho realizado quando um corpo de massa igual a 100kg cuja densidade vale 2 \mathrm{~kg} / \mathrm{cm}^{3} é deslocado no interior da água desde uma profundidade 10 m até a 1 m abaixo da superfície.

Passo 1

O enunciado pede que calculemos o trabalho realizado quando um corpo é deslocado no interior da água desde uma profundidade de 10\\ \mathrm{m} até 1\\ \mathrm{m} abaixo da superfície. Dados fornecidos:
  • massa do corpo: m=100\\ \mathrm{kg}.
  • densidade do corpo: \rho_{\text{corpo}}=2\\ \mathrm{kg}/\mathrm{cm}^{3} (unidade estranha, vamos converter).
  • profundidades: partida z_1=10\\ \mathrm{m}, chegada z_2=1\\ \mathrm{m}.
    Pergunta implícita (considerando enunciado típico): calcular o trabalho efetuado pela força de empuxo (força de Archimedes) ao deslocar o corpo entre essas duas posições. Vou usar a densidade da água \rho_{\text{água}}=1000\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}á e a aceleração da gravidade g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 2

Converter a densidade do corpo para unidades SI ( \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}). Sabendo que 1\\ \mathrm{cm}^{3}=10^{-6}\\ \mathrm{m}^{3}, temos:
\rho_{\text{corpo}}=2\\ \mathrm{kg}/\mathrm{cm}^{3}=2\cdot 10^{6}\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}.
Explicação curta: multiplicamos por 10^{6} porque um metro cúbico contém 10^{6} centímetros cúbicos.

Passo 3

Calcular o volume do corpo usando a relação massa = densidade × volume, isto é m=\rho_{\text{corpo}} V. Portanto:
V=\frac{m}{\rho_{\text{corpo}}}=\frac{100}{2\cdot 10^{6}}\\ \mathrm{m^{3}}=5\cdot 10^{-5}\\ \mathrm{m^{3}}.
Comentário didático: o volume ficou pequeno ( 5\cdot 10^{-5}\\ \mathrm{m^{3}}), o que faz sentido porque a densidade dada é muito alta.

Passo 4

Lembrar a fórmula do empuxo (princípio de Arquimedes): a força de empuxo \mathbf{F}_e tem módulo
F_e=\rho_{\text{água}}\,V\,g,á
onde \rho_{\text{água}}á é a densidade do fluido (água), V é o volume do corpo submerso (aqui todo o volume do corpo, assumimos totalmente submerso), e g é a aceleração da gravidade. Explicação: o empuxo é igual ao peso do volume de fluido deslocado, independente da profundidade.

Passo 5

Calcular numericamente o empuxo usando os valores:
F_e=\rho_{\text{água}}\,V\,g=1000\cdot 5\cdot 10^{-5}\cdot 9{,}8\\ \mathrm{N}.á
Fazendo as contas passo a passo:
1000\cdot 5\cdot 10^{-5}=0{,}05,
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F_e=0{,}05\cdot 9{,}8=0{,}49\\ \mathrm{N}.
Interpretação: o empuxo é muito pequeno porque o volume deslocado é pequeno.

Passo 6

Fórmula do trabalho realizado por uma força constante quando o deslocamento é ao longo da mesma direção da força: W=\mathbf{F}\cdot \Delta \mathbf{s}=F\,\Delta y (se considerarmos deslocamento vertical). Aqui deslocamos o corpo para cima de z_1=10\\ \mathrm{m} para z_2=1\\ \mathrm{m}, então o deslocamento vertical é
\Delta y = z_2 - z_1 = 1 - 10 = -9\\ \mathrm{m}.
Observação sobre sinais: se tomarmos a direção positiva para cima, o empuxo aponta para cima (positivo) e o deslocamento é para cima; note que eu defini \Delta y=z_2-z_1 com z medido positivamente para cima a partir de uma referência (por isso ficou -9 com a escolha z_1=10,\\ z_2=1 quando ambos são profundidades positivas abaixo da superfície). Para evitar confusão de sinal, é mais claro usar o módulo do deslocamento vertical em sentido do movimento: o corpo sobe 9\\ \mathrm{m} e a força de empuxo tem sentido para cima, portanto o trabalho realizado pelo empuxo é positivo e vale W=F_e\cdot 9\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Calcular o trabalho:
W=F_e\cdot 9 = 0{,}49\cdot 9 = 4{,}41\\ \mathrm{J}.
Explicação: multiplicamos a força constante pelo deslocamento na direção da força.

Passo 8

Comentário final e checagem rápida: resultado pequeno ( 4{,}41\\ \mathrm{J}) coincide com o fato do empuxo ser pequeno (volume muito reduzido). Se a densidade do corpo fosse menor (isto é, volume maior para mesma massa), o empuxo e o trabalho seriam maiores. Tudo está coerente com as fórmulas usadas.

Resposta

4,41\\ \mathrm{J}

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