Determine a força total exercida pela água sobre a parede de uma barragem cuja profundidade vale 80 m e a largura vale 240 m .
Passo 1
O enunciado pede: “Determinar a força total exercida pela água sobre a parede da barragem.” As informações fornecidas são:
profundidade da água (altura da parede): H=80\\ \mathrm{m};
largura horizontal da parede (comprimento da face molhada): w=240\\ \mathrm{m}.
Vou assumir água doce com massa volúmica \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}} e aceleração da gravidade g=9,81\\ \mathrm{m/s^{2}}. A incógnita é a força total F (em Newtons) que a água exerce sobre essa face vertical retangular.
Passo 2
Conceito básico: pressão hidrostática. A pressão num ponto submerso depende só da profundidade vertical abaixo da superfície livre. A fórmula é
p(h)=\rho g h,
onde:
p(h) é a pressão a uma profundidade h medida a partir da superfície (\mathrm{Pa}=\mathrm{N/m^{2}});
\rho é a massa volúmica do fluido (\mathrm{kg/m^{3}});
g é a aceleração da gravidade (\mathrm{m/s^{2}});
h é a profundidade (\mathrm{m}).
Explicação rápida: a pressão aumenta linearmente com h porque o peso da coluna de fluido acima do ponto cresce linearmente com a altura.
Passo 3
Como a pressão varia com a profundidade, dividimos a parede em tiras horizontais infinitesimais de espessura dh a profundidade h. Para uma dessas tiras:
área da tira: dA = w\,dh (largura w vezes altura dh);
pressão naquela tira: p(h)=\rho g h.
A força elemento sobre essa tira é
dF = p(h)\,dA = \rho g h \cdot w\,dh.
Fisicamente, isso soma as forças sobre todas as tiras da superfície molhada.
Passo 4
Somamos (integrando) as forças de todas as tiras desde a superfície (h=0) até o fundo (h=H):
F=\int_{0}^{H} dF=\int_{0}^{H} \rho g h \, w\, dh.
Cheque rápido (método alternativo): pressão média p_{\text{média}}=\rho g (H/2)=9810\cdot40=392400\\ \mathrm{Pa}é. Área A=wH=240\cdot80=19200\\ \mathrm{m^{2}}. Então F=p_{\text{média}}A=392400\cdot19200=7\,534\,080\,000\\ \mathrm{N}é. Confere com o resultado anterior.