Determine a força total exercida pela água sobre a parede de uma barragem cuja profundidade vale 80 m e a largura vale 240 m .

Passo 1

O enunciado pede: “Determinar a força total exercida pela água sobre a parede da barragem.” As informações fornecidas são:
  • profundidade da água (altura da parede): H=80\\ \mathrm{m};
  • largura horizontal da parede (comprimento da face molhada): w=240\\ \mathrm{m}.
    Vou assumir água doce com massa volúmica \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}} e aceleração da gravidade g=9,81\\ \mathrm{m/s^{2}}. A incógnita é a força total F (em Newtons) que a água exerce sobre essa face vertical retangular.

Passo 2

Conceito básico: pressão hidrostática. A pressão num ponto submerso depende só da profundidade vertical abaixo da superfície livre. A fórmula é
p(h)=\rho g h,
onde:
  • p(h) é a pressão a uma profundidade h medida a partir da superfície ( \mathrm{Pa}=\mathrm{N/m^{2}});
  • \rho é a massa volúmica do fluido ( \mathrm{kg/m^{3}});
  • g é a aceleração da gravidade ( \mathrm{m/s^{2}});
  • h é a profundidade ( \mathrm{m}).
    Explicação rápida: a pressão aumenta linearmente com h porque o peso da coluna de fluido acima do ponto cresce linearmente com a altura.

Passo 3

Como a pressão varia com a profundidade, dividimos a parede em tiras horizontais infinitesimais de espessura dh a profundidade h. Para uma dessas tiras:
  • área da tira: dA = w\,dh (largura w vezes altura dh);
  • pressão naquela tira: p(h)=\rho g h.
    A força elemento sobre essa tira é
dF = p(h)\,dA = \rho g h \cdot w\,dh.
Fisicamente, isso soma as forças sobre todas as tiras da superfície molhada.

Passo 4

Somamos (integrando) as forças de todas as tiras desde a superfície ( h=0) até o fundo ( h=H):
F=\int_{0}^{H} dF=\int_{0}^{H} \rho g h \, w\, dh.
Como \rho, g e w são constantes:
F=\rho g w \int_{0}^{H} h\,dh.
Calculamos a integral:
\int_{0}^{H} h\,dh = \left.\frac{h^{2}}{2}\right|_{0}^{H}=\frac{H^{2}}{2}.
Logo a expressão fechada para a força total é
F=\rho g w \frac{H^{2}}{2}.
Interpretação prática: é igual à pressão correspondente à profundidade média H/2 vezes a área wH.

Passo 5

Agora substituímos os valores numéricos. Primeiro calcule a parte geométrica:
\frac{H^{2}}{2}=\frac{80^{2}}{2}=\frac{6400}{2}=3200.
Multiplicando por w:
w\cdot\frac{H^{2}}{2}=240\cdot3200=768000.
Multiplicando por \rho g:
\rho g = 1000\cdot9,81 = 9810.
Portanto
F = 9810\cdot768000.
Faço a multiplicação em etapas:
9810\cdot768000 = 9810\cdot768\cdot1000.
Calcule 9810\cdot768:
9810\cdot768 = 9810\cdot(700+60+8)=9810\cdot700+9810\cdot60+9810\cdot8
=6\,867\,000+588\,600+78\,480=7\,534\,080.
Multiplicando por 1000
F=7\,534\,080\,000\\ \mathrm{N}.

Passo 6

Cheque rápido (método alternativo): pressão média p_{\text{média}}=\rho g (H/2)=9810\cdot40=392400\\ \mathrm{Pa}é. Área A=wH=240\cdot80=19200\\ \mathrm{m^{2}}. Então F=p_{\text{média}}A=392400\cdot19200=7\,534\,080\,000\\ \mathrm{N}é. Confere com o resultado anterior.

Resposta

F=7{,}53408\times10^{9}\\ \mathrm{N}\\ \approx 7{,}53\times10^{9}\\ \mathrm{N}

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