Suponha uma fenda dupla com espaçamento de 0,15 \mathrm{~mm} e uma lâmpada de sódio (que produz uma emissão amarela brilhante a 589 nm ). A que distância das fendas devemos colocar o anteparo para observar as franjas brilhantes que distam 10 mm uma da outra?

Passo 1

O enunciado pede a distância entre as fendas e o anteparo (que vou chamar de L) tal que as franjas brilhantes consecutivas fiquem a 10\\ \text{mm} uma da outra. As informações dadas são:
d = 0{,}15\\ \text{mm}
\lambda = 589\\ \text{nm}
\Delta y = 10\\ \text{mm}
Onde \Delta y é a separação entre franjas brilhantes consecutivas (ou seja, o passo das franjas).

Passo 2

Vamos revisar a física básica de fenda dupla de um jeito simples e prático.
  • Para máximos de interferência (franjas brilhantes) entre duas fendas, a condição é
d\sin\theta = m\lambda,
onde d é o espaçamento entre as fendas, \theta é o ângulo medido a partir da direção central, \lambda é o comprimento de onda, e m é um inteiro (0, \pm1, \pm2, …). Isso vem da diferença de caminho entre as ondas vindas das duas fendas.
  • Na prática de laboratório/prova, o anteparo fica bem longe das fendas comparado ao espaçamento d, então os ângulos \theta são pequenos. Para pequenos ângulos usamos as aproximações
\sin\theta \approx \tan\theta \approx \theta\quad(\text{em radianos}).
A posição vertical y_m do máximo de ordem m no anteparo, medido a partir do centro, satisfaz
\tan\theta \approx \frac{y_m}{L}.
Combinando isso com d\sin\theta = m\lambda e usando as aproximações, obtemos a fórmula prática do espaçamento entre máximos consecutivos:
\Delta y = y_{m+1}-y_m = \frac{\lambda L}{d}.

Passo 3

Isolando L na fórmula obtida:
\Delta y = \frac{\lambda L}{d}\quad\Longrightarrow\quad L = \frac{\Delta y\, d}{\lambda}.
Essa é a expressão que vamos usar. Ela é bem direta: quanto maior d ou \Delta y, maior L; quanto maior \lambda, menor L para mesma \Delta y.

Passo 4

Converter todas as grandezas para o SI (metros):
d = 0{,}15\\ \text{mm} = 0{,}15\times10^{-3}\\ \text{m} = 1{,}5\times10^{-4}\\ \text{m},
\lambda = 589\\ \text{nm} = 589\times10^{-9}\\ \text{m} = 5{,}89\times10^{-7}\\ \text{m},
\Delta y = 10\\ \text{mm} = 10\times10^{-3}\\ \text{m} = 1{,}0\times10^{-2}\\ \text{m}.

Passo 5

Agora substituímos na fórmula
L = \frac{\Delta y\, d}{\lambda}.
Calcule o numerador:
\Delta y\\ d = \left(1{,}0\times10^{-2}\right)\left(1{,}5\times10^{-4}\right) = 1{,}5\times10^{-6}.
O denominador é
\lambda = 5{,}89\times10^{-7}.
Logo
L = \frac{1{,}5\times10^{-6}}{5{,}89\times10^{-7}}.

Passo 6

Fazendo a divisão passo a passo:
L = \frac{1{,}5}{5{,}89}\times10^{(-6)-(-7)} = \frac{1{,}5}{5{,}89}\times10^{1}.
\frac{1{,}5}{5{,}89}\approx 0{,}2547\quad\Rightarrow\quad L \approx 0{,}2547\times10 = 2{,}547\\ \text{m}.
Arredondando de forma razoável para dois algarismos significativos (os dados originais têm cerca de 2 alg. sig.),
L \approx 2{,}55\\ \text{m}.

Passo 7

Verificação rápida da aproximação de pequeno ângulo: para máximos adjacentes \sin\theta\approx\lambda/d\approx 5{,}89\times10^{-7}/1{,}5\times10^{-4}\approx 3{,}93\times10^{-3} (que é \approx 0{,}00393 rad \approx 0{,}225^\circ). Esse ângulo é pequeno, então as aproximações \sin\theta\approx\tan\theta\approx\theta são válidas — nosso uso da fórmula é consistente. Vai dar certo na prova. Força aí! 😃

Resposta

2{,}55\\ \text{m}

Exercícios relacionados