Exercício 21 - Considere B e \gamma como nas hipóteses do Teorema de Green.
a) Prove que Área (B)=\oint_{\gamma}-y \vec{i} d \gamma.
b) Calcule a área da região delimitada pela reta 2 y-x=0 e pela curva x=t^{2}+t e y=t^{3}, para t \in[0,1].

Passo 1

Vou listar com clareza o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados gerais: B e \gamma satisfazem as hipóteses do Teorema de Green (portanto B é uma região planar simples apropriada e \gamma=\partial B é sua fronteira simples e regularmente orientada).
  • Pergunta (a): provar que \operatorname{Área}(B)=\displaystyle\oint_{\gamma}-y\vec{i}\cdot d\gammaÁ. Ou seja, mostrar que a área de B é igual ao integral de linha sobre \gamma do campo vetorial -y\vec{i}.
  • Pergunta (b): calcular a área da região delimitada pela reta 2y-x=0 e pela curva paramétrica x=t^{2}+t,\qquad y=t^{3},\qquad t\in[0,1].
  • Informações úteis que vou usar: pontos extremos da curva quando t=0 e t=1 são (0,0) e (2,1); a reta 2y-x=0 passa por esses pontos (verificação: em (2,1) temos 2\cdot1-2=0), portanto a região é fechada pela curva e pelo segmento de reta que os liga.

Passo 2

Lembrando (e explicando) o enunciado do Teorema de Green de forma prática e com notação clara.
  • Considere um campo vetorial em \mathbb{R}^2 dado por \vec{F}(x,y) = P(x,y)\,\vec{i} + Q(x,y)\,\vec{j}, com P e Q com derivadas parciais contínuas em uma região que contém B.
  • O Teorema de Green afirma que, se \gamma=\partial B é a fronteira de B percorrida de forma positiva (isto é, no sentido anti-horário, deixando B à esquerda), então \displaystyle\oint_{\gamma} P\,dx + Q\,dy \;=\; \iint_{B} \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.
  • Aqui:
    • dx e dy são os incrementos diferenciais das coordenadas ao longo de \gamma;
    • \frac{\partial Q}{\partial x} e \frac{\partial P}{\partial y} são as derivadas parciais de Q e P em relação a x e y;
    • \iint_{B} \cdots dA é a integral dupla sobre a região B (ou seja, a soma dos valores da função sobre toda a área de B).
Vou aplicar esse teorema escolhendo um campo \vec{F} conveniente para relacionar integral de linha com a área.

Passo 3

Escolho o campo vetorial
\vec{F}(x,y) = -y\,\vec{i} + 0\cdot\vec{j}.
Aqui P(x,y)=-y e Q(x,y)=0. Agora calculo a quantidade que aparece na integral dupla do Teorema de Green:
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial x}(0)-\frac{\partial}{\partial y}(-y) =0 - (-1)=1.
Aplicando o Teorema de Green:
\displaystyle\oint_{\gamma} P\,dx + Q\,dy = \displaystyle\oint_{\gamma} (-y)\,dx + 0\,dy = \iint_{B} 1\,dA.
Mas por definição \iint_{B} 1\,dA é exatamente a área de B. Portanto
\operatorname{Área}(B)=\displaystyle\oint_{\gamma}-y\vec{i}\cdot d\gamma,Á
desde que \gamma esteja orientada positivamente (hipótese do teorema). Isso prova a parte (a).
Observação didática rápida: a escolha de P=-y e Q=0 é intencional porque a combinação \partial Q/\partial x-\partial P/\partial y 1, e integrar 1 sobre B é exatamente calcular a área. Essa é uma técnica clássica para transformar área em integral de linha.

Passo 4

Para calcular a área pedida na parte (b) vou usar o resultado que acabei de provar:
\operatorname{Área}(B)=\displaystyle\oint_{\gamma} -y\,dx.Á
Preciso descrever \gamma como fronteira orientada positivamente da região delimitada pela curva paramétrica C_1\colon (x(t),y(t))=(t^{2}+t,t^{3}), t\in[0,1], e pelo segmento de reta C_2 entre (2,1) e (0,0).
  • Vou tomar C_1 com t aumentando de 0 até 1. Isso percorre a curva de (0,0) até (2,1).
  • Para fechar a curva de forma a manter a orientação positiva (região à esquerda do percurso), tomo C_2 como o segmento de reta que vai de (2,1) de volta a (0,0). Assim \gamma=C_1\cup C_2 é um laço fechado percorrido no sentido anti-horário em relação à região entre a curva e a reta (verificação intuitiva: a curva está abaixo da reta para t\in(0,1), então ao percorrê-la do ponto esquerdo para o direito a região fica à esquerda; o segmento de reta de volta também deixa a região à esquerda).
  • Então \operatorname{Área}(B)=\int_{C_1}-y\,dx + \int_{C_2}-y\,dx.Á
Agora calculo cada integral separadamente.

Passo 5

Parametrização de C_1:
x(t)=t^{2}+t,\qquad y(t)=t^{3},\qquad t\in[0,1].
Calculo dx:
dx = x'(t)\,dt = (2t+1)\,dt.
O integrando é -y\,dx, em função de t:
-y\,dx = -y(t)\,x'(t)\,dt = -t^{3}(2t+1)\,dt = -(2t^{4}+t^{3})\,dt.
Agora integro de 0 a 1:
\int_{C_1}-y\,dx = \int_{0}^{1} -(2t^{4}+t^{3})\,dt = -\left[ \frac{2}{5}t^{5} + \frac{1}{4}t^{4} \right]_{0}^{1}.
Avalio em t=1 e t=0:
\int_{C_1}-y\,dx = -\left(\frac{2}{5}+\frac{1}{4}\right) = -\left(\frac{8}{20}+\frac{5}{20}\right) = -\frac{13}{20}.

Passo 6

Vou parametrizar o segmento de reta de (2,1) até (0,0). Uma parametrização simples com parâmetro s\in[0,1] é:
x(s)=2(1-s),\qquad y(s)=1-s,\qquad s\in[0,1].
Verificação: em s=0 obtemos (2,1); em s=1 obtemos (0,0). Calculo dx:
dx = x'(s)\,ds = -2\,ds.
O integrando -y\,dx torna-se:
-y\,dx = -(1-s)\cdot(-2)\,ds = 2(1-s)\,ds.
Integro de s=0 a s=1:
\int_{C_2}-y\,dx = \int_{0}^{1} 2(1-s)\,ds = 2\left[ s - \frac{s^{2}}{2}\right]_{0}^{1} = 2\left(1-\frac{1}{2}\right) = 1.

Passo 7

Somando as duas parcelas obtidas:
\operatorname{Área}(B)=\int_{C_1}-y\,dx + \int_{C_2}-y\,dx = -\frac{13}{20} + 1 = \frac{7}{20}.Á
Portanto a área da região delimitada pela reta 2y-x=0 e pela curva dada é \dfrac{7}{20}.

Resposta

\operatorname{Área}(B)=\displaystyle\oint_{\gamma}-y\vec{i}\cdot d\gammaÁ
\operatorname{Área}=\dfrac{7}{20}Á

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