Exercício 21 - Considere
e
como nas hipóteses do Teorema de Green.
a) Prove que Área
.
b) Calcule a área da região delimitada pela reta
e pela curva
e
, para
.
a) Prove que Área
b) Calcule a área da região delimitada pela reta
Passo 1
Vou listar com clareza o que o enunciado dá e o que pede.
- Dados gerais:
e satisfazem as hipóteses do Teorema de Green (portanto é uma região planar simples apropriada e é sua fronteira simples e regularmente orientada). - Pergunta (a): provar que
. Ou seja, mostrar que a área de é igual ao integral de linha sobre do campo vetorial . - Pergunta (b): calcular a área da região delimitada pela reta
e pela curva paramétrica - Informações úteis que vou usar: pontos extremos da curva quando
e são e ; a reta passa por esses pontos (verificação: em temos ), portanto a região é fechada pela curva e pelo segmento de reta que os liga.
Passo 2
Lembrando (e explicando) o enunciado do Teorema de Green de forma prática e com notação clara.
- Considere um campo vetorial em
dado por , com e com derivadas parciais contínuas em uma região que contém . - O Teorema de Green afirma que, se
é a fronteira de percorrida de forma positiva (isto é, no sentido anti-horário, deixando à esquerda), então - Aqui:
-
e são os incrementos diferenciais das coordenadas ao longo de ; -
e são as derivadas parciais de e em relação a e ; -
é a integral dupla sobre a região (ou seja, a soma dos valores da função sobre toda a área de ).
-
Vou aplicar esse teorema escolhendo um campo
conveniente para relacionar integral de linha com a área.
Passo 3
Escolho o campo vetorial
Aqui
e
. Agora calculo a quantidade que aparece na integral dupla do Teorema de Green:
Aplicando o Teorema de Green:
Mas por definição
é exatamente a área de
. Portanto
desde que
esteja orientada positivamente (hipótese do teorema). Isso prova a parte (a).
Observação didática rápida: a escolha de
e
é intencional porque a combinação
dá
, e integrar
sobre
é exatamente calcular a área. Essa é uma técnica clássica para transformar área em integral de linha.
Passo 4
Para calcular a área pedida na parte (b) vou usar o resultado que acabei de provar:
Preciso descrever
como fronteira orientada positivamente da região delimitada pela curva paramétrica
,
, e pelo segmento de reta
entre
e
.
- Vou tomar
com aumentando de até . Isso percorre a curva de até . - Para fechar a curva de forma a manter a orientação positiva (região à esquerda do percurso), tomo
como o segmento de reta que vai de de volta a . Assim é um laço fechado percorrido no sentido anti-horário em relação à região entre a curva e a reta (verificação intuitiva: a curva está abaixo da reta para , então ao percorrê-la do ponto esquerdo para o direito a região fica à esquerda; o segmento de reta de volta também deixa a região à esquerda). - Então
Agora calculo cada integral separadamente.
Passo 5
Parametrização de
:
Calculo
:
O integrando é
, em função de
:
Agora integro de
a
:
Avalio em
e
:
Passo 6
Vou parametrizar o segmento de reta de
até
. Uma parametrização simples com parâmetro
é:
Verificação: em
obtemos
; em
obtemos
. Calculo
:
O integrando
torna-se:
Integro de
a
:
Passo 7
Somando as duas parcelas obtidas:
Portanto a área da região delimitada pela reta
e pela curva dada é
.