Calcule o trabalho realizado pela força vec{F}(x, y, z)=(2 x+z+4) \vec{i}+\left(y^{2}-3 z-1\right) \vec{j}+\((-3 y+z) \vec{k} sobre uma partícula, ao longo de C, de A=(2,4,2) a B=(2,0,0), onde C é:
a parábola y=z^{2} no plano x=2.)

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
\mathbf F(x,y,z) = (2x + z + 4)\,\mathbf i + (y^2 - 3z - 1)\,\mathbf j + (-3y + z)\,\mathbf k
e pede o trabalho
W = \int_C \mathbf F\cdot d\mathbf r
ao longo da curva C que é a parábola y = z^2 no plano x=2, de A=(2,4,2) até B=(2,0,0).
O conteúdo aqui é integral de linha de um campo vetorial; vamos parametrizar C, computar \mathbf F(\mathbf r(t)), o vetor tangente \mathbf r'(t) e depois integrar o produto escalar.

Passo 2

Parametrizamos C por
x(t)=2,\quad z(t)=t,\quad y(t)=t^2,
de forma que em t=2 obtemos A=(2,4,2) e em t=0 obtemos B=(2,0,0). Logo o intervalo de integração é t de 2 até 0. Assim
\mathbf r(t) = \bigl(2,\;t^2,\;t\bigr).

Passo 3

O vetor diferencial é
\mathbf r'(t) = \bigl(0,\;2t,\;1\bigr).

Passo 4

Substituindo na força,
\mathbf F\bigl(\mathbf r(t)\bigr) = \bigl(2\cdot2 + t +4,\;(t^2)^2 -3t -1,\;-3\,t^2 + t\bigr) = \bigl(8+t,\;t^4 -3t -1,\;-3t^2 + t\bigr).
O produto escalar vale
\mathbf F(\mathbf r(t))\cdot \mathbf r'(t) = (8+t)\cdot0 + (t^4 -3t -1)\cdot(2t) + (-3t^2 + t)\cdot1 = 2t^5 -9t^2 - t.

Passo 5

O trabalho é
W = \int_C \mathbf F\cdot d\mathbf r = \int_{t=2}^{0} \bigl(2t^5 -9t^2 - t\bigr)\,dt.
Uma primitiva é
\int \bigl(2t^5 -9t^2 - t\bigr)\,dt = \frac{1}{3}t^6 -3t^3 -\frac{1}{2}t^2.
Avaliando de 2 a 0,
W = \Bigl[\,\frac{1}{3}t^6 -3t^3 -\tfrac12 t^2\Bigr]_{2}^{0} = 0 -\Bigl(\frac{64}{3} -24 -2\Bigr) = 0 -\Bigl(\frac{64-78}{3}\Bigr) = \frac{14}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{14}{3}
é o trabalho realizado pela força ao longo de C.

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