Determine a posição relativa entre as retas:
r:\left\{\begin{array}{ll}x & =1+2 k \\\ y & =2+k \\\ z & =3-3 k\end{array}, k \in \mathbb{R} \mathbf{e}\right.
s: X=(3,3,0)+\lambda(1,2,3), \lambda \in \mathbb{R}.
Escolha uma opção:
a. Perpendiculares
b. Reversas

Passo 1

O enunciado pede para classificar a posição relativa entre duas retas em \mathbb{R}^3:
r:\begin{cases} x = 1 + 2k,\\\ y = 2 + k,\\\ z = 3 - 3k, \end{cases}\;k\in\mathbb{R} \quad\text{e}\quad s:\;X = (3,3,0) + \lambda\,(1,2,3),\;\lambda\in\mathbb{R}.
Conteúdo usado: vetores diretores, produto escalar (para ortogonalidade), verificação de paralelismo e solução de sistema para interseção.

Passo 2

Extraímos os vetores diretores de cada reta:
\vec v_r = (2,\,1,\,-3), \quad \vec v_s = (1,\,2,\,3).

Passo 3

Testamos se são perpendiculares calculando o produto escalar:
\vec v_r\cdot \vec v_s =2\cdot1 + 1\cdot2 + (-3)\cdot3 =2+2-9=-5\neq0.
Como o produto escalar não é zero, as retas não são perpendiculares.

Passo 4

Testamos se são paralelas checando se \vec v_r é múltiplo escalar de \vec v_s. Não existe \mu tal que
(2,1,-3)=\mu\,(1,2,3),
pois 2/1\neq1/2. Logo, não são paralelas.

Passo 5

Para ver se se intersectam, igualamos as coordenadas:
\begin{cases} 1+2k = 3 + \lambda,\\\\ 2+k = 3 + 2\lambda,\\\\ 3-3k = 0 + 3\lambda. \end{cases}
Da primeira, \lambda = 2k-2. Substituindo na segunda:
2+k = 3 + 2(2k-2) = 4k-1 \;\Longrightarrow\; k=1,\quad \lambda=0.
Na terceira: 3-3\cdot1 = 0 = 3\cdot0. OK. Logo existe interseção única em k=1,\lambda=0.

Passo 6

Conclusão: as retas se intersectam num ponto, mas não são perpendiculares. Como também não são paralelas, são secantes.

Resposta

As retas não são nem perpendiculares nem reversas (skew); elas se intersectam e, portanto, são secantes.

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