Resolva a EDO
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que é:
A matéria que vamos usar aqui é de Equações Diferenciais Ordinárias, especificamente de equações diferenciais exatas. Para resolver isso, precisamos identificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função que satisfaça essa condição.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma equação diferencial ser exata. Uma EDO na forma:
é exata se existir uma função
tal que:
No nosso caso, temos:
Passo 3
Vamos verificar se a equação é exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais cruzadas:
Como:
a equação é exata!
Passo 4
Como a equação é exata, sabemos que existe uma função
cuja derivada total é zero. Ou seja:
Então, para encontrar
, vamos integrar
em relação a
:
Aqui, tratamos
como uma constante durante a integração.
Passo 5
Integrando
em relação a
:
onde
é uma função de
que surge da integração.
Passo 6
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso nos dá:
Portanto,
, o que implica que
é uma constante, que podemos chamar de
.
Passo 7
Então, a função
completa é:
Como
, isso significa que
é constante. Portanto:
Resposta
A solução geral da EDO é: