Resolva a EDO
cos x cos y d x-sin x sin y d y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que é:
cos x cos y , dx - sin x sin y , dy = 0
A matéria que vamos usar aqui é de Equações Diferenciais Ordinárias, especificamente de equações diferenciais exatas. Para resolver isso, precisamos identificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função que satisfaça essa condição.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma equação diferencial ser exata. Uma EDO na forma:
M(x, y) , dx + N(x, y) , dy = 0
é exata se existir uma função partial Fpartial x = M e partial Fpartial y = N tal que:
M(x, y) = cos x cos y e N(x, y) = -sin x sin y
No nosso caso, temos:

Passo 3

Vamos verificar se a equação é exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais cruzadas:
partial Mpartial y = -cos x sin y
partial Npartial x = -cos x sin y
Como:
partial Mpartial y = partial Npartial x
a equação é exata!

Passo 4

Como a equação é exata, sabemos que existe uma função dF = M , dx + N , dy = 0 cuja derivada total é zero. Ou seja:
F(x, y) = integral M , dx = integral cos x cos y , dx
Então, para encontrar , vamos integrar em relação a :
Aqui, tratamos como uma constante durante a integração.

Passo 5

Integrando F(x, y) = cos y integral cos x , dx = cos y cdot sin x + g(y) em relação a :
onde é uma função de que surge da integração.

Passo 6

Agora, derivamos partial Fpartial y = -sin y sin x + g'(y) = -sin x sin y = N(x, y) em relação a -sin y sin x + g'(y) = -sin y sin x e igualamos a :
Isso nos dá:
Portanto, , o que implica que é uma constante, que podemos chamar de .

Passo 7

Então, a função F(x, y) = sin x cos y + C completa é:
sin x cos y = C
Como , isso significa que é constante. Portanto:

Resposta

A solução geral da EDO é:
sin x cos y = C

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