A curva é parametrizada por \vec{r}(t) com t variando de 0 a 1.
As coordenadas ao longo da curva são \;x=2t,\;y=t,\;z=2-2t.
O integrando é a função escalar f(x,y,z)=x y+y+z.
O diferencial de comprimento de arco é d s, que será expresso em função de t.
Passo 2
Vamos lembrar a fórmula que transforma o integral de linha de uma função escalar em um integral em t. Se a curva é parametrizada por \vec{r}(t) para a\le t\le b e a função escalar é f(x,y,z), então
\int_{C} f(x,y,z)\,d s = \int_{a}^{b} f\big(\vec{r}(t)\big)\,\big\| \vec{r}\,'(t)\big\|\,d t.
Explicando devagar:
\vec{r}\,'(t) é a derivada vetorial da parametrização, que dá a velocidade ao longo da curva.
\big\|\vec{r}\,'(t)\big\| é a velocidade escalar; multiplicando f(\vec{r}(t)) por essa velocidade e integrando em t obtemos o integral com respeito ao comprimento de arco d s.
Então precisamos:
Substituir x,y,z pela parametrização dentro de f.
Calcular \vec{r}\,'(t) e seu módulo.
Integrar o produto em t de a=0 a b=1.
Passo 3
Substituindo \;x=2t,\;y=t,\;z=2-2t\; na função f(x,y,z)=x y+y+z:
f\big(\vec{r}(t)\big) = (2t)\cdot t + t + (2-2t).
Agora simplificar essa expressão passo a passo:
(2t)\cdot t = 2t^{2},
portanto
f\big(\vec{r}(t)\big) = 2t^{2} + t + 2 - 2t.
Agrupando termos semelhantes:
f\big(\vec{r}(t)\big) = 2t^{2} - t + 2.
Passo 4
Calcular agora \vec{r}\,'(t). A parametrização é \vec{r}(t)=\langle 2t,\;t,\;2-2t\rangle. Derivando coordenada a coordenada: