Calcule
\int_{C}(x y+y+z) d s
ao longo da curva
\vec{r}(t)=2 t \vec{i}+t \vec{j}+(2-2 t) \vec{k}, \quad 0 \leq t \leq 1 .

Passo 1

O enunciado pede o valor do integral de linha
\int_{C}(x y+y+z)\,d s
ao longo da curva dada pela parametrização
\vec{r}(t)=2t\,\vec{i}+t\,\vec{j}+(2-2t)\,\vec{k},\qquad 0\le t\le 1.
Informações importantes fornecidas:
  • A curva é parametrizada por \vec{r}(t) com t variando de 0 a 1.
  • As coordenadas ao longo da curva são \;x=2t,\;y=t,\;z=2-2t.
  • O integrando é a função escalar f(x,y,z)=x y+y+z.
  • O diferencial de comprimento de arco é d s, que será expresso em função de t.

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula que transforma o integral de linha de uma função escalar em um integral em t. Se a curva é parametrizada por \vec{r}(t) para a\le t\le b e a função escalar é f(x,y,z), então
\int_{C} f(x,y,z)\,d s = \int_{a}^{b} f\big(\vec{r}(t)\big)\,\big\| \vec{r}\,'(t)\big\|\,d t.
Explicando devagar:
  • \vec{r}\,'(t) é a derivada vetorial da parametrização, que dá a velocidade ao longo da curva.
  • \big\|\vec{r}\,'(t)\big\| é a velocidade escalar; multiplicando f(\vec{r}(t)) por essa velocidade e integrando em t obtemos o integral com respeito ao comprimento de arco d s.
    Então precisamos:
  1. Substituir x,y,z pela parametrização dentro de f.
  2. Calcular \vec{r}\,'(t) e seu módulo.
  3. Integrar o produto em t de a=0 a b=1.

Passo 3

Substituindo \;x=2t,\;y=t,\;z=2-2t\; na função f(x,y,z)=x y+y+z:
f\big(\vec{r}(t)\big) = (2t)\cdot t + t + (2-2t).
Agora simplificar essa expressão passo a passo:
(2t)\cdot t = 2t^{2},
portanto
f\big(\vec{r}(t)\big) = 2t^{2} + t + 2 - 2t.
Agrupando termos semelhantes:
f\big(\vec{r}(t)\big) = 2t^{2} - t + 2.

Passo 4

Calcular agora \vec{r}\,'(t). A parametrização é \vec{r}(t)=\langle 2t,\;t,\;2-2t\rangle. Derivando coordenada a coordenada:
\vec{r}\,'(t)=\langle 2,\;1,\;-2\rangle.
O módulo é
\big\|\vec{r}\,'(t)\big\|=\sqrt{2^{2}+1^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{4+1+4}=\sqrt{9}=3.
Observação: aqui \big\|\vec{r}\,'(t)\big\| é constante e igual a 3, então d s = 3\,d t.

Passo 5

Substituindo na fórmula do integral de linha:
\int_{C}(x y+y+z)\,d s = \int_{0}^{1} f\big(\vec{r}(t)\big)\,\big\|\vec{r}\,'(t)\big\|\,d t = \int_{0}^{1} \big(2t^{2}-t+2\big)\cdot 3\,d t.
Fatorando o 3:
\int_{C}(x y+y+z)\,d s = 3\int_{0}^{1} \big(2t^{2}-t+2\big)\,d t.

Passo 6

Calcular a integral polinomial passo a passo. Primeiro achar a primitiva de 2t^{2}-t+2:
\int \big(2t^{2}-t+2\big)\,d t = 2\cdot\frac{t^{3}}{3} - \frac{t^{2}}{2} + 2t + C.
Simplificando a primitiva:
\int \big(2t^{2}-t+2\big)\,d t = \frac{2}{3}t^{3} - \frac{1}{2}t^{2} + 2t + C.

Passo 7

Avaliar a primitiva entre 0 e 1:
\left[\frac{2}{3}t^{3} - \frac{1}{2}t^{2} + 2t\right]_{0}^{1} = \left(\frac{2}{3}\cdot 1 - \frac{1}{2}\cdot 1 + 2\cdot 1\right) - 0.
Calcular a combinação de frações com cuidado:
\frac{2}{3} + 2 = \frac{2}{3} + \frac{6}{3} = \frac{8}{3},
\frac{8}{3} - \frac{1}{2} = \frac{16}{6} - \frac{3}{6} = \frac{13}{6}.
Portanto
\int_{0}^{1} \big(2t^{2}-t+2\big)\,d t = \frac{13}{6}.

Passo 8

Multiplicar pelo fator 3 que estava fora da integral:
3\cdot \frac{13}{6} = \frac{39}{6} = \frac{13}{2}.

Resposta

\dfrac{13}{2}

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