Calcule o trabalho total realizado pelo campo de forças:
\vec{F}=(x+y) \hat{i}+(y+z) \hat{j}+(x+z) \hat{k}, quando leva uma partícula através da curva C, dada pelo segmento de reta de ( 0,0,0 ) até ( 0,0,1 ), a seguir, pelo segmento de reta de ( 0,0,1 ) até ( 2,1,0 ) e finalmente pelo segmento de reta de ( 2,1,0 ) até ( 0,1,0 ).

Passo 1

O enunciado pede calcular o trabalho total do campo de forças \displaystyle \vec{F}=(x+y)\,\hat{i} \;+\;(y+z)\,\hat{j} \;+\;(x+z)\,\hat{k}
ao longo da curva C composta por três segmentos de reta:
  1. de (0,0,0) a (0,0,1),
  2. de (0,0,1) a (2,1,0),
  3. de (2,1,0) a (0,1,0).
    Vamos parametrizar cada trecho, calcular \vec{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t) e integrar de t=0 a t=1.

Passo 2

Primeiro segmento: de (0,0,0) a (0,0,1).
Escolhemos
\mathbf{r}_1(t) = (0,\,0,\,t),\quad 0\le t\le1,
logo
\mathbf{r}'_1(t) = (0,\,0,\,1).
Em \mathbf{r}_1 temos x=0, y=0, z=t, então
\vec{F}=(0+t,\;0+t,\;0+t) = (0,\,t,\,t).
O produto escalar é
\vec{F}\cdot\mathbf{r}'_1 = t\cdot1 = t,
e o trabalho nesse trecho é
W_1 = \int_{0}^{1} t\,dt = \tfrac12.

Passo 3

Segundo segmento: de (0,0,1) a (2,1,0).
Parametrização
\mathbf{r}_2(t) = (2t,\;t,\;1-t),\quad 0\le t\le1,
\mathbf{r}'_2(t) = (2,\,1,\,-1).
Em \mathbf{r}_2: x=2t, y=t, z=1-t, logo
\vec{F}=(2t+t,\;t+1-t,\;2t+1-t) = (3t,\,1,\,1+t).
O produto escalar é
\vec{F}\cdot\mathbf{r}'_2 = 3t\cdot2 + 1\cdot1 + (1+t)(-1) = 6t +1 -1 -t = 5t,
e o trabalho é
W_2 = \int_{0}^{1} 5t\,dt = \tfrac52.

Passo 4

Terceiro segmento: de (2,1,0) a (0,1,0).
Parametrização
\mathbf{r}_3(t) = (2-2t,\,1,\,0),\quad 0\le t\le1,
\mathbf{r}'_3(t) = (-2,\,0,\,0).
Em \mathbf{r}_3: x=2-2t, y=1, z=0, então
\vec{F}=(2-2t+1,\;1+0,\;2-2t+0) = (3-2t,\,1,\,2-2t).
O produto escalar é
\vec{F}\cdot\mathbf{r}'_3 = (3-2t)(-2) = -6 +4t,
e o trabalho nesse trecho é
W_3 = \int_{0}^{1}(-6 +4t)\,dt = \bigl[-6t +2t^2\bigr]_0^1 = -6 +2 = -4.

Passo 5

Somando os três contribuições, o trabalho total é
W = W_1 + W_2 + W_3 = \tfrac12 + \tfrac52 -4 = -1.

Resposta

-1

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