Calcule a transformada de Fourier
das funções abaixo:
, para
(
é a função de Dirac).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a transformada de Fourier
da função
, onde
é a função de Dirac. O assunto aqui é Transformada de Fourier, e para isso, vamos precisar entender como a transformada age sobre a função delta e usar a propriedade de linearidade dessa transformada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Fourier. Basicamente, ela transforma uma função no domínio do tempo ou espaço (
) para o domínio da frequência (
). A fórmula geral da transformada de Fourier é:
Passo 3
Agora, vamos falar sobre a função delta de Dirac,
. Essa função é um “pico” infinitamente estreito e alto localizado em
, com a propriedade importante:
E quando ela é multiplicada por outra função, a integral “puxa” o valor dessa função no ponto onde a delta está localizada:
Passo 4
Vamos aplicar a transformada de Fourier na função
. Por causa da linearidade da transformada de Fourier, podemos transformar cada termo separadamente:
Passo 5
Usando a propriedade da transformada de Fourier da função delta, temos:
Aplicando isso a cada termo:
Substituindo de volta na expressão original:
Resposta
A transformada de Fourier da função
é: