Calcule a transformada de Fourier f(omega)=Ff(x) das funções abaixo:
f(x)=de, para x in R ( de é a função de Dirac).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a transformada de Fourier f(omega) da função f(x) = de, onde de é a função de Dirac. O assunto aqui é Transformada de Fourier, e para isso, vamos precisar entender como a transformada age sobre a função delta e usar a propriedade de linearidade dessa transformada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Fourier. Basicamente, ela transforma uma função no domínio do tempo ou espaço ( x) para o domínio da frequência ( omega). A fórmula geral da transformada de Fourier é:
f(omega) = integral-infty^+infty f(x) e^-i omega x , dx

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a função delta de Dirac, de. Essa função é um “pico” infinitamente estreito e alto localizado em x = 0, com a propriedade importante:
integral-infty^+infty de
E quando ela é multiplicada por outra função, a integral “puxa” o valor dessa função no ponto onde a delta está localizada:
integral-infty^+infty f(x) de

Passo 4

Vamos aplicar a transformada de Fourier na função f(x) = de. Por causa da linearidade da transformada de Fourier, podemos transformar cada termo separadamente:
f(omega) = Fde

Passo 5

Usando a propriedade da transformada de Fourier da função delta, temos:
Fde
Aplicando isso a cada termo:
Fde
Fde
Substituindo de volta na expressão original:
f(omega) = e^i 3 omega + 3 e^-i 8 omega

Resposta

A transformada de Fourier da função f(x) = de é:
f(omega) = e^i 3 omega + 3 e^-i 8 omega

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