Calcule a transformada de Fourier f(omega)=Ff(x) das funções abaixo:
f(x)=e^-b|x|, para x in R, onde b>0 é constante.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada de Fourier da função $ f(x) = e^{-b|x|} $, onde $ b > 0 $. Para isso, vamos usar os conceitos de transformada de Fourier e algumas propriedades de funções pares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Fourier. Ela transforma uma função do domínio do tempo (ou espaço) para o domínio da frequência. A fórmula da transformada de Fourier de uma função $ f(x) $ é:
f(x)
Aqui, $ \omega $ representa a frequência.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa fórmula à nossa função $ f(x) = e^{-b|x|} $:
f(x) = e^-b|x|
Note que $ e^{-b|x|} $ é uma função par, ou seja, ela é simétrica em relação ao eixo y. Isso nos permite simplificar a integral multiplicando por 2 a integral de 0 a $ +\infty $:
f(omega) = integral-infty^+infty e^-b|x| , e^-iomega x , dx
Aqui, usamos a propriedade de que a parte ímpar (envolvendo seno) se cancela devido à simetria da função.

Passo 4

Agora, precisamos resolver a integral:
integral0^+infty e^-b x cos(omega x) , dx
Essa é uma integral padrão e o resultado dela é conhecido:
integral0^+infty e^-b x cos(omega x) , dx = bb^2 + omega^2
Multiplicando esse resultado por 2, que veio da simplificação anterior, temos:
f(omega) = 2bb^2 + omega^2

Resposta

A transformada de Fourier da função $ f(x) = e^{-b|x|} $ é:
f(x) = e^-b|x|

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