Calcule a transformada de Fourier
das funções abaixo:
, para
, onde
é constante.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada de Fourier da função $ f(x) = e^{-b|x|} $, onde $ b > 0 $. Para isso, vamos usar os conceitos de transformada de Fourier e algumas propriedades de funções pares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Fourier. Ela transforma uma função do domínio do tempo (ou espaço) para o domínio da frequência. A fórmula da transformada de Fourier de uma função $ f(x) $ é:
Aqui, $ \omega $ representa a frequência.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa fórmula à nossa função $ f(x) = e^{-b|x|} $:
Note que $ e^{-b|x|} $ é uma função par, ou seja, ela é simétrica em relação ao eixo y. Isso nos permite simplificar a integral multiplicando por 2 a integral de 0 a $ +\infty $:
Aqui, usamos a propriedade de que a parte ímpar (envolvendo seno) se cancela devido à simetria da função.
Passo 4
Agora, precisamos resolver a integral:
Essa é uma integral padrão e o resultado dela é conhecido:
Multiplicando esse resultado por 2, que veio da simplificação anterior, temos:
Resposta
A transformada de Fourier da função $ f(x) = e^{-b|x|} $ é: