Para quais das seguintes séries o teste da razão não é conclusivo (isto é, ele não dá uma resposta definida)?
(a) sumn=1^infty n2^n
(b) sumn=1^infty (-3)^n-1raizn
© sumn=1^infty raizn1+n^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir para quais das séries dadas o Teste da Razão não consegue nos dizer se a série converge ou diverge. Esse teste faz parte do conteúdo de Séries Numéricas e Testes de Convergência. Para resolver, vamos precisar aplicar o Teste da Razão em cada série e ver quando ele não dá uma resposta definitiva.

Passo 2

Série (a): sumn=1^infty n2^n
Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste diz que se você calcular limn to infty | an+1an |:
  • Se o limite for menor que 1, a série converge.
  • Se for maior que 1, a série diverge.
  • Se for igual a 1, o teste não é conclusivo.
Vamos calcular:
an+1an = n+12^n+1n2^n = n+12^n+1 cdot 2^nn = n+12n
Agora, o limite quando n vai para o infinito:
limn to infty n+12n = 12
Como 12 < 1, o Teste da Razão nos diz que a série converge.

Passo 3

Série (b): sumn=1^infty (-3)^n-1raizn
Vamos aplicar o Teste da Razão aqui também. Primeiro, vamos simplificar:
an = (-3)^n-1raizn
Calculando an+1an:
an+1an = (-3)^nraizn+1(-3)^n-1raizn = (-3)^nraizn+1 cdot raizn(-3)^n-1 = -3 cdot raiznraizn+1
Agora, calculando o limite:
limn to infty | -3 cdot raiznraizn+1 | = 3 cdot limn to infty raiznraizn+1 = 3 cdot 1 = 3
Como 3 > 1, o Teste da Razão indica que a série diverge.

Passo 4

Série ©: sumn=1^infty raizn1+n^2
Vamos de novo aplicar o Teste da Razão:
an = raizn1+n^2
Calculando an+1an:
an+1an = raizn+11+(n+1)^2raizn1+n^2 = raizn+11+(n+1)^2 cdot 1+n^2raizn = raizn+1raizn cdot 1+n^21 + 2n + n^2 +1
Simplificando:
raizn+1raizn cdot 1+n^2n^2 + 2n + 2 approx raiznraizn cdot n^2n^2 = 1
Então, o limite é:
limn to infty an+1an = 1
Quando o limite é igual a 1, o Teste da Razão não é conclusivo.

Resposta

O Teste da Razão não é conclusivo para a série © sumn=1^infty raizn1+n^2.

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