Calcule a transformada de Fourier f(omega)=Ff(x) das funções abaixo:
f(x)= 4 x, & se x in(a, b) 0, & caso contrário á

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transformada de Fourier juntos! A questão pede para calcular a transformada de Fourier da função $ f(x) $ definida por:
f(x) á
Vamos precisar entender o que é a transformada de Fourier e como aplicá-la a funções por partes. Não se preocupe, vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Fourier. Ela transforma uma função do domínio do tempo (ou do espaço) para o domínio da frequência. A fórmula geral da transformada de Fourier é:
f(omega) = Ff(x) = integral-infty^infty f(x) e^-i omega x dx
No nosso caso, como $ f(x) $ é zero fora do intervalo $ (a, b) $, podemos simplificar a integral para:
f(x)
Agora, precisamos resolver essa integral.

Passo 3

Para resolver a integral $ \int 4x e^{-i \omega x} dx $, vamos usar a técnica de integração por partes. A integração por partes é uma maneira de integrar o produto de duas funções e é dada por:
integral 4x e^-i omega x dx
Precisamos escolher $ u $ e $ dv $ de forma inteligente. Vamos deixar:
integral u , dv = uv - integral v , du
Então, vamos calcular $ du $ e $ v $:
u

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integrala^b 4x e^-i omega x dx = uv |a^b - integrala^b v , du
Substituindo $ u $, $ v $, $ du $:
u
Simplificando:
v
Agora, resolve a segunda integral:
du
Substituindo de volta:
= (4x cdot e^-i omega x-i omega) |a^b - integrala^b e^-i omega x-i omega cdot 4 dx
Simplificando mais:
= -4x e^-i omega xi omega |a^b + 4i omega integrala^b e^-i omega x dx

Passo 5

Vamos simplificar os termos:
f(omega) = 4(a e^-i omega a - b e^-i omega b)i omega - 4 (e^-i omega b - e^-i omega a)-omega^2
Multiplicando os sinais:
= 4(a e^-i omega a - b e^-i omega b)i omega + 4 (e^-i omega b - e^-i omega a)omega^2
Podemos fatorar $ 4 $ e reorganizar:
4
Esse é o resultado simplificado da transformada de Fourier para a função dada.

Resposta

A transformada de Fourier da função $ f(x) $ é:
f(x)

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