Calcule a transformada de Fourier
das funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de transformada de Fourier juntos! A questão pede para calcular a transformada de Fourier da função $ f(x) $ definida por:
Vamos precisar entender o que é a transformada de Fourier e como aplicá-la a funções por partes. Não se preocupe, vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Fourier. Ela transforma uma função do domínio do tempo (ou do espaço) para o domínio da frequência. A fórmula geral da transformada de Fourier é:
No nosso caso, como $ f(x) $ é zero fora do intervalo $ (a, b) $, podemos simplificar a integral para:
Agora, precisamos resolver essa integral.
Passo 3
Para resolver a integral $ \int 4x e^{-i \omega x} dx $, vamos usar a técnica de integração por partes. A integração por partes é uma maneira de integrar o produto de duas funções e é dada por:
Precisamos escolher $ u $ e $ dv $ de forma inteligente. Vamos deixar:
Então, vamos calcular $ du $ e $ v $:
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo $ u $, $ v $, $ du $:
Simplificando:
Agora, resolve a segunda integral:
Substituindo de volta:
Simplificando mais:
Passo 5
Vamos simplificar os termos:
Multiplicando os sinais:
Podemos fatorar $ 4 $ e reorganizar:
Esse é o resultado simplificado da transformada de Fourier para a função dada.
Resposta
A transformada de Fourier da função $ f(x) $ é: