Como consequência dos exercícios anteriores, mostre que
Passo 1
Estamos buscando a transformada de Fourier da função gaussiana
, com
. O conteúdo é transformada de Fourier e o que vamos precisar é a definição da transformada (na convenção simétrica) e a fórmula do integral gaussiano.
Passo 2
Lembrando a definição simétrica da transformada de Fourier, temos:
Aplicando a essa definição com
Passo 3
Para resolver, agrupamos os expoentes e completamos o quadrado:
Passo 4
Então o integral vira:
Como
Passo 5
Fazendo a mudança de variável
, o caminho de integração paralelo ao real não altera o valor e sobra o integral gaussiano padrão:
Substituindo de volta, obtemos: