Como consequência dos exercícios anteriores, mostre que
Fe^-a x^2=1raiz2 a e^-omega^2 / 4 a, a>0

Passo 1

Estamos buscando a transformada de Fourier da função gaussiana e^-a x^2, com a>0. O conteúdo é transformada de Fourier e o que vamos precisar é a definição da transformada (na convenção simétrica) e a fórmula do integral gaussiano.

Passo 2

Lembrando a definição simétrica da transformada de Fourier, temos:
Ff(x)(omega)=1raiz2piintegral-infty^+inftyf(x)e^-iomega x,dx
Aplicando a essa definição com f(x)=e^-a x^2, escrevemos o integral:
Fe^-a x^2(omega)=1raiz2piintegral-infty^+inftye^-a x^2e^-iomega x,dx

Passo 3

Para resolver, agrupamos os expoentes e completamos o quadrado:
-a x^2-iomega x=-al(x^2+iomegaaxr) =-al(l(x+tfraciomega2ar)^2-l(tfraciomega2ar)^2r)

Passo 4

Então o integral vira:
1raiz2piintegral-infty^+inftye^-a(x+tfraciomega2a)^2,e^a(tfraciomega2a)^2,dx
Como e^a(tfraciomega2a)^2=e^-omega^2/4a é constante em x, fica:
e^-omega^2/4araiz2piintegral-infty^+inftye^-a(x+tfraciomega2a)^2,dx

Passo 5

Fazendo a mudança de variável u=x+tfraciomega2a, o caminho de integração paralelo ao real não altera o valor e sobra o integral gaussiano padrão:
integral-infty^+inftye^-au^2,du=raizpia
Substituindo de volta, obtemos:
Fe^-a x^2(omega)=e^-omega^2/4araiz2pi;raizpia=1raiz2a;e^-omega^2/4a

Resposta

Fe^-a x^2(omega)=1raiz2a,e^-omega^2/4a, a>0

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