Lembre da definição
f(omega)=Ff(x)=1raiz2 pi integral-infty^+infty f(x) e^-i omega x d x
e mostre que
f^prime(omega)=-i Fx f(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a derivada em relação a omega da transformada de Fourier de uma função f(x) é igual a -i vezes a transformada de Fourier de x f(x). Estamos trabalhando com Transformadas de Fourier e cálculo de derivadas. Para resolver isso, vamos usar a definição da transformada de Fourier e aplicar a regra da derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição da transformada de Fourier de f(x):
f(omega) = Ff(x) = 1raiz2 pi integral-infty^+infty f(x) e^-i omega x dx
Queremos encontrar a derivada dessa transformada em relação a omega, ou seja, f'(omega).

Passo 3

Vamos calcular a derivada de f(omega) em relação a omega. Lembrando que a derivada de uma integral em relação a um parâmetro pode ser feita dentro da integral, desde que as condições de troca sejam satisfeitas.
Então,
f'(omega) = ddomega ( 1raiz2 pi integral-infty^+infty f(x) e^-i omega x dx ) = 1raiz2 pi integral-infty^+infty f(x) ddomega ( e^-i omega x ) dx

Passo 4

Agora, vamos derivar a função exponencial em relação a omega:
ddomega ( e^-i omega x ) = -i x e^-i omega x
Substituindo de volta na integral:
f'(omega) = 1raiz2 pi integral-infty^+infty f(x) (-i x) e^-i omega x dx = -i 1raiz2 pi integral-infty^+infty x f(x) e^-i omega x dx

Passo 5

Perceba que a integral resultante é exatamente a transformada de Fourier de x f(x):
Fx f(x) = 1raiz2 pi integral-infty^+infty x f(x) e^-i omega x dx
Então, podemos escrever:
f'(omega) = -i Fx f(x)

Resposta

Mostramos que a derivada da transformada de Fourier de f(x) em relação a omega é igual a -i vezes a transformada de Fourier de x f(x). Ou seja,
f^prime(omega) = -i Fx f(x)

Exercícios relacionados