Lembre da definição
e mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a derivada em relação a
da transformada de Fourier de uma função
é igual a
vezes a transformada de Fourier de
. Estamos trabalhando com Transformadas de Fourier e cálculo de derivadas. Para resolver isso, vamos usar a definição da transformada de Fourier e aplicar a regra da derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição da transformada de Fourier de
:
Queremos encontrar a derivada dessa transformada em relação a
, ou seja,
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
em relação a
. Lembrando que a derivada de uma integral em relação a um parâmetro pode ser feita dentro da integral, desde que as condições de troca sejam satisfeitas.
Então,
Passo 4
Agora, vamos derivar a função exponencial em relação a
:
Substituindo de volta na integral:
Passo 5
Perceba que a integral resultante é exatamente a transformada de Fourier de
:
Então, podemos escrever:
Resposta
Mostramos que a derivada da transformada de Fourier de
em relação a
é igual a
vezes a transformada de Fourier de
. Ou seja,