Explique, sem fazer contas, o método que utilizamos em aula para determinar:
.
Em seguida, sem consultar livros ou notas de aula, faça as contas com detalhes.
Em seguida, sem consultar livros ou notas de aula, faça as contas com detalhes.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, usando a definição de Fourier vista em aula, temos
. O conteúdo é a transformada de Fourier de uma gaussiana e vamos precisar da técnica de completar o quadrado no expoente e do resultado padrão da integral gaussiana.
Passo 2
Sem fazer contas, o método é: 1) usar a definição da transformada de Fourier unitária (com fator
); 2) no integrando, juntar
e
num único expoente; 3) completar o quadrado nesse expoente, o que gera um fator externo
e uma integral padrão da forma
; 4) usar a mudança de variável (deslocamento no plano complexo) para reconhecer essa integral como
e cancelar o
.
Passo 3
Definimos em aula
Passo 4
Aplicando essa definição a
, escrevemos
Passo 5
No expoente somamos
Passo 6
Para completar o quadrado, note que
então
Passo 7
Fica assim
Passo 8
Fazemos a mudança de variável
. Como o deslocamento no eixo real não altera o valor da integral gaussiana, temos
Logo o
cancela o
inicial, sobrando apenas
.
Resposta
e{-\omega2/2}