Explique, sem fazer contas, o método que utilizamos em aula para determinar:
Fe^-x^2 / 2=e^-omega^2 / 2.
Em seguida, sem consultar livros ou notas de aula, faça as contas com detalhes.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, usando a definição de Fourier vista em aula, temos Fe^-x^2/2(omega)=e^-omega^2/2. O conteúdo é a transformada de Fourier de uma gaussiana e vamos precisar da técnica de completar o quadrado no expoente e do resultado padrão da integral gaussiana.

Passo 2

Sem fazer contas, o método é: 1) usar a definição da transformada de Fourier unitária (com fator 1/raiz2pi); 2) no integrando, juntar e^-x^2/2 e e^-iomega x num único expoente; 3) completar o quadrado nesse expoente, o que gera um fator externo e^-omega^2/2 e uma integral padrão da forma integral e^-u^2/2du; 4) usar a mudança de variável (deslocamento no plano complexo) para reconhecer essa integral como raiz2pi e cancelar o 1/raiz2pi.

Passo 3

Definimos em aula
Ff(omega)=1raiz2piintegral-infty^inftyf(x)e^-iomega x,dx

Passo 4

Aplicando essa definição a f(x)=e^-x^2/2, escrevemos
Fe^-x^2/2(omega)=1raiz2piintegral-infty^inftye^-x^2/2,e^-iomega x,dx

Passo 5

No expoente somamos
-x^22-iomega x=-x^2+2iomega x2

Passo 6

Para completar o quadrado, note que
x^2+2iomega x=(x+iomega)^2-(iomega)^2=(x+iomega)^2+omega^2,
então
-x^22-iomega x=-(x+iomega)^22-omega^22

Passo 7

Fica assim
Fe^-x^2/2(omega)=1raiz2pie^-omega^2/2integral-infty^inftye^-(x+iomega)^2/2,dx

Passo 8

Fazemos a mudança de variável u=x+iomega. Como o deslocamento no eixo real não altera o valor da integral gaussiana, temos
integral-infty^inftye^-u^2/2,du=raiz2pi
Logo o raiz2pi cancela o 1/raiz2pi inicial, sobrando apenas e^-omega^2/2.

Resposta

e{-\omega2/2}

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