Calcule a Transformada de Fourier de:
f(t)=2(1-cos (k t))t

Passo 1

Temos a função f(t)=2l(1-cos(kt)r)t. O conteúdo é Transformada de Fourier, e vamos usar a definição
Ff(t)(omega)=integral-infty^+inftyf(t)e^-iomega t,dt
além de propriedades de linearidade e de deslocamento no tempo.

Passo 2

Reescrevemos f(t) usando cos(kt)=tfrac12(e^i kt+e^-i kt):
f(t)=2-l(e^i kt+e^-i ktr)t=2t-e^i ktt-e^-i ktt

Passo 3

Sabemos como calcular cada termo pela integral de valor principal:
Logo,


Passo 4

Pela linearidade, somamos as contribuições:

Passo 5

Para simplificar, avaliamos em casos:
Para omega<-k ou omega>k todos os sinais se cancelam e F(omega)=0.
Para -k obtemos F(omega)=2ipi.
Para 0 obtemos F(omega)=-2ipi.

Resposta

F(omega)= 0,&|omega|>k, 2ipi,&-k

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