Calcule a Transformada de Laplace da função:
f(t)=rrr 1-t^2, & |t| <= 1 0 & |t|>1

Passo 1

A questão pede a transformada de Laplace de uma função em partes. O conteúdo que vamos usar é a definição
Lf(s)=integral0^inftyf(t)e^-st,dt
e o fato de que f(t)=1–t² para 0≤t≤1 e f(t)=0 para t>1, então só precisamos integrar de 0 a 1.

Passo 2

Escrevemos a transformada como
Lf(s)=integral0^1l(1-t^2r)e^-st,dt

Passo 3

Separamos a integral em duas partes:
integral0^1e^-st,dt;- integral0^1t^2e^-st,dt

Passo 4

Calculamos a primeira integral:
integral0^1e^-st,dt=[-e^-sts]0^1=1-e^-ss

Passo 5

Para a segunda integral usamos integração por partes duas vezes. O resultado é:
integral0^1t^2e^-st,dt=2s^3-e^-sl(1s+2s^2+2s^3r)

Passo 6

Substituímos as duas parcelas na transformada e simplificamos:
Lf(s)=1-e^-ss-l(2s^3-e^-sl(tfrac1s+tfrac2s^2+tfrac2s^3r)r)
Fazendo a simplificação chega-se a
Lf(s)=s^2-2+2e^-s(s+1)s^3

Resposta

Lf(s)=s^2-2+2e^-s(s+1)s^3

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