Considere a função
f(x, y)=cc x^3 y-x y^3x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)
© Por que o teorema de Schwarz não se aplica nesse caso?

Passo 1

Temos a função
f(x,y)=x^3y-xy^3x^2+y^2,&(x,y)neq(0,0)0,&(x,y)=(0,0)
e a parte © pergunta por que o teorema de Schwarz (que garante ∂²f/∂x∂y=∂²f/∂y∂x) não vale aqui. Para isso, precisamos revisar as hipóteses do teorema: as derivadas parciais de segunda ordem devem existir e ser contínuas num entorno de (0,0).

Passo 2

Para ver a continuidade das derivadas mistas em (0,0), examinemos o valor de
fxy(0,0)=lim(h,k)to(0,0)f(h,k)-f(h,0)-f(0,k)+f(0,0)hk
Como f(h,0)=f(0,k)=0, isso reduz-se a
fxy(0,0)=lim(h,k)to(0,0)f(h,k)hk
Em coordenadas polares, escrevendo h=r\cos\theta e k=r\sin\theta, temos
f(r,theta)=r^2sinthetacosthetacos2theta
Logo
fxy(0,0)=limrto0r^2sinthetacosthetacos2thetar^2costhetasintheta=cos2theta,
que depende de theta e não é único.

Passo 3

Como o valor de fxy(0,0) varia conforme a direção theta, não existe limite único nem continuidade das derivadas parciais de segunda ordem em (0,0). Logo, a hipótese de continuidade necessária para aplicar o teorema de Schwarz não está satisfeita, e o teorema não se aplica neste caso.

Resposta

Porque as derivadas parciais de segunda ordem não são contínuas (nem têm valor único) no entorno de (0,0), falhando a hipótese de continuidade exigida pelo teorema de Schwarz.

Exercícios relacionados