Considere a função
© Por que o teorema de Schwarz não se aplica nesse caso?
Passo 1
Temos a função
e a parte © pergunta por que o teorema de Schwarz (que garante ∂²f/∂x∂y=∂²f/∂y∂x) não vale aqui. Para isso, precisamos revisar as hipóteses do teorema: as derivadas parciais de segunda ordem devem existir e ser contínuas num entorno de (0,0).
Passo 2
Para ver a continuidade das derivadas mistas em (0,0), examinemos o valor de
Como f(h,0)=f(0,k)=0, isso reduz-se a
Em coordenadas polares, escrevendo h=r\cos\theta e k=r\sin\theta, temos
Logo
que depende de
e não é único.
Passo 3
Como o valor de
varia conforme a direção
, não existe limite único nem continuidade das derivadas parciais de segunda ordem em (0,0). Logo, a hipótese de continuidade necessária para aplicar o teorema de Schwarz não está satisfeita, e o teorema não se aplica neste caso.
Resposta
Porque as derivadas parciais de segunda ordem não são contínuas (nem têm valor único) no entorno de (0,0), falhando a hipótese de continuidade exigida pelo teorema de Schwarz.