Calcule a transformada de Fourier de
f(x)=lla ;|x| <= L 0 ;|x|>L

Passo 1

Neste exercício vamos calcular a transformada de Fourier de uma função retangular de amplitude a e largura 2L. O conteúdo é transformada de Fourier em tempo contínuo, e vamos usar a definição integral e propriedades de integrais exponenciais.

Passo 2

A definição da transformada de Fourier é dada por
F(omega)=integral-infty^inftyf(x)e^-iomega x,dx
Como f(x)=a para |x|<= L e zero caso contrário, fica
F(omega)=integral-L^La,e^-iomega x,dx

Passo 3

Para resolver a integral, usamos que
integral e^-iomega x,dx=e^-iomega x-iomega, omeganeq0
Então
integral-L^La,e^-iomega x,dx=a[e^-iomega x-iomega]x=-L^x=L

Passo 4

Aplicando os limites de integração:
F(omega)=a-iomegal(e^-iomega L-e^iomega Lr)
Usando a identidade e^itheta-e^-itheta=2isintheta, obtemos
F(omega)=a-iomega(-2isin(omega L))=2asin(omega L)omega

Passo 5

Chegamos, portanto, à expressão fechada da transformada de Fourier da função retangular.

Resposta

A transformada de Fourier é
F(omega)=2asin(omega L)omega

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