Seja B a fronteira da região no interior da circunferência |z|=4 e no exterior do quadrado de vértices x= pm 1 e y= pm 1, orientadas positivamente. Calcule
integralB f(z) d z
onde
f(z)=13 z^2+1

Passo 1

Temos que calcular a integral de linha integralB f(z),dz, onde B é a fronteira da região limitada por duas curvas: a circunferência de raio 4 e o quadrado de vértices em x=pm1, y=pm1. O conteúdo principal aqui é o teorema dos resíduos em regiões com “buracos” (ou furos). Vamos precisar identificar os polos de f(z)=tfrac13z^2+1 e verificar se eles ficam na região entre as fronteiras.

Passo 2

Primeiro achamos os polos da função resolvendo 3z^2+1=0. Isso dá z^2=-tfrac13, ou seja
z=pmiraiz3

Passo 3

Agora precisamos ver onde esses polos se encontram em relação à nossa região: eles têm módulo |z|=tfrac1raiz3approx0,577 e, portanto, estão dentro do quadrado de vértices x=pm1, y=pm1.

Passo 4

Como o quadrado é removido da região (é um “furo”), esses polos NÃO estão dentro da região sobre a qual aplicamos o teorema dos resíduos. O único outro contorno é a circunferência |z|=4, que engloba ambos, mas o interior do quadrado não faz parte da nossa região.

Passo 5

Como f(z) é analítica em toda a região entre o quadrado e a circunferência, pelo teorema de Cauchy (ou por dizer que a soma dos resíduos na região é zero), concluímos que

Resposta

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