Seja
a fronteira da região no interior da circunferência
e no exterior do quadrado de vértices
e
, orientadas positivamente. Calcule
onde
Passo 1
Temos que calcular a integral de linha
, onde
é a fronteira da região limitada por duas curvas: a circunferência de raio 4 e o quadrado de vértices em
. O conteúdo principal aqui é o teorema dos resíduos em regiões com “buracos” (ou furos). Vamos precisar identificar os polos de
e verificar se eles ficam na região entre as fronteiras.
Passo 2
Primeiro achamos os polos da função resolvendo
. Isso dá
, ou seja
Passo 3
Agora precisamos ver onde esses polos se encontram em relação à nossa região: eles têm módulo
e, portanto, estão dentro do quadrado de vértices
,
.
Passo 4
Como o quadrado é removido da região (é um “furo”), esses polos NÃO estão dentro da região sobre a qual aplicamos o teorema dos resíduos. O único outro contorno é a circunferência
, que engloba ambos, mas o interior do quadrado não faz parte da nossa região.
Passo 5
Como
é analítica em toda a região entre o quadrado e a circunferência, pelo teorema de Cauchy (ou por dizer que a soma dos resíduos na região é zero), concluímos que
Resposta
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