Verifique em que pontos as funções abaixo são aplicações conforme.
© f(z)=z^2+1exp (z)

Passo 1

O enunciado pede para verificar onde a função é aplicação conforme, isto é, onde ela é holomorfa e tem derivada não nula. Vamos usar conceitos de análise complexa: holomorfia (derivabilidade) e não anulação de f′.

Passo 2

Observamos que f(z)=z^2+1exp(z)=(z^2+1)e^-z. Como exp(z) nunca se anula em C, a função f é inteira (holomorfa em todo C).

Passo 3

Para checar a não anulação da derivada, calculamos f'(z). Usando a regra do produto em (z^2+1)e^-z, temos:
f'(z)=2z,e^-z+(z^2+1)(-e^-z)=e^-z(2z - z^2 -1)= -e^-z(z-1)^2

Passo 4

Como e^-zneq0 para todo z, a única raiz de f'(z) vem de (z-1)^2=0, ou seja, z=1.

Resposta

A função f é aplicação conforme em Csetminus1.

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