Calcule a Transformada de Laplace Inversa de:
Passo 1
O enunciado pede para a gente encontrar a transformada de Laplace inversa de uma série de potências dada por
. O conteúdo envolvido são séries de potências e a transformada de Laplace inversa. Vamos precisar usar a soma fechada de
e depois manipular frações parciais para aplicar a tabela de inversas.
Passo 2
Para começar, reconhecemos que a série
tem formulação fechada conhecida. Usando derivadas sucessivas da soma geométrica, chega-se ao resultado:
Passo 3
Agora interpretamos essa soma como função de
, isto é, definimos
. Para facilitar a expansão em frações parciais, fazemos a mudança de variável
, então
e temos:
Passo 4
Voltando a
, isso significa que
Agora basta aplicar a transformada de Laplace inversa termo a termo.
Passo 5
Na tabela de inversas temos para
e
inteiro positivo:
Aplicando a cada parcela:
-
-
-
-
.
Passo 6
Somando todos os termos chegamos ao resultado final: