Calcule a Transformada de Laplace Inversa de:
x+2^3 x^2+3^3 x^3+4^3 x^4+ldots

Passo 1

O enunciado pede para a gente encontrar a transformada de Laplace inversa de uma série de potências dada por x + 2^3x^2 + 3^3x^3 + 4^3x^4 + dots. O conteúdo envolvido são séries de potências e a transformada de Laplace inversa. Vamos precisar usar a soma fechada de sumn=1^inftyn^3x^n e depois manipular frações parciais para aplicar a tabela de inversas.

Passo 2

Para começar, reconhecemos que a série sumn=1^inftyn^3x^n tem formulação fechada conhecida. Usando derivadas sucessivas da soma geométrica, chega-se ao resultado:
sumn=1^inftyn^3x^n ,=, x,(1 + 4x + x^2)(1 - x)^4

Passo 3

Agora interpretamos essa soma como função de s, isto é, definimos F(s)=sumn=1^inftyn^3s^n=dfracs(1+4s+s^2)(1-s)^4. Para facilitar a expansão em frações parciais, fazemos a mudança de variável u=s-1, então 1-s=-u e temos:
F(s)=(u+1)(u^2+6u+6)u^4 ,=, u^3+7u^2+12u+6u^4 ,=, 1u+7u^2+12u^3+6u^4

Passo 4

Voltando a s, isso significa que
F(s)=1s-1+7(s-1)^2+12(s-1)^3+6(s-1)^4
Agora basta aplicar a transformada de Laplace inversa termo a termo.

Passo 5

Na tabela de inversas temos para a=1 e n inteiro positivo:
L^-1l1(s-1)^nr(t)=t^n-1(n-1)!e^t
Aplicando a cada parcela:
  • L^-11/(s-1)=e^t
  • L^-17/(s-1)^2=7,t,e^t
  • L^-112/(s-1)^3=12,t^22!,e^t=6t^2e^t
  • L^-16/(s-1)^4=6,t^33!,e^t=t^3e^t.

Passo 6

Somando todos os termos chegamos ao resultado final:
L^-1F(s)=e^t + 7te^t + 6t^2e^t + t^3e^t = e^t(1 + 7t + 6t^2 + t^3)

Resposta

f(t)=e^t,(1+7t+6t^2+t^3)

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