Calcule a Transformada de Laplace Inversa de:
f(t)=2(1-cos (k t))t

Passo 1

O enunciado pede pra calcular a transformada de Laplace de f(t)=2(1−cos(kt))/t. O conteúdo envolvido é a propriedade de transformada da função dividida por t, que diz que
Lg(t)/t(s)=integrals^inftyG(u),du
onde G(s)=L{g(t)}(s).

Passo 2

Primeiro, vamos isolar g(t)=1−cos(kt). Precisamos de G(s)=L{1−cos(kt)}(s). Usando transformadas básicas:
L1(s)=1s, Lcos(kt)(s)=ss^2+k^2
Logo,
G(s)=1s-ss^2+k^2= k^2s,(s^2+k^2)

Passo 3

Agora aplicamos a propriedade para f(t)=2·g(t)/t. Sua transformada será
F(s)=2integrals^inftyG(u),du=2integrals^inftyk^2u,(u^2+k^2),du

Passo 4

Para calcular a integral, usamos frações parciais ou reconhecemos a forma conhecida:
integralk^2u(u^2+k^2),du= rac12lnl(1+tfrack^2u^2r)+C
Então
integrals^inftyk^2u(u^2+k^2),du= rac12l[0-lnl(1+k^2s^2r)r]=- rac12lnl(s^2+k^2s^2r)

Passo 5

Multiplicando por 2, obtemos a transformada de f(t):
F(s)=2l(-12lns^2+k^2s^2r)=lns^2+k^2s^2

Resposta

L2(1-cos(kt))/t(s)=lnl(s^2+k^2s^2r)

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