Calcule a transformada de Fourier da função
definida por
Passo 1
O enunciado pede a transformada de Fourier de uma função por partes, ou seja, vamos usar a definição
e separar em dois intervalos (t<0 e t\ge0). Precisamos saber usar integrais de exponenciais complexas e as condições de convergência (parte real do expoente positiva).
Passo 2
Para t\ge0 temos h(t)=2e^{-t}. Aplicando na integral:
Como Re(1+i\omega)=1>0, a integral converge e vale
Passo 3
Para t<0 temos h(t)=5e^{t}. A integral fica:
Como Re(1-i\omega)=1>0, a integral converge e vale
Passo 4
Somando as duas partes, obtemos
Para simplificar, colocamos no mesmo denominador 1+\omega^2:
Resposta
H(\omega)=\dfrac{7+3i\omega}{1+\omega^2}