Calcule a transformada de Fourier da função h(t) definida por
h(t)=ll 2 e^-t & se t >= 0 5 e^t & se t<0

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Fourier de uma função por partes, ou seja, vamos usar a definição
H(omega)=integral-infty^+inftyh(t)e^-iomega t,dt
e separar em dois intervalos (t<0 e t\ge0). Precisamos saber usar integrais de exponenciais complexas e as condições de convergência (parte real do expoente positiva).

Passo 2

Para t\ge0 temos h(t)=2e^{-t}. Aplicando na integral:
integral0^+infty2e^-te^-iomega t,dt=2integral0^+inftye^-(1+iomega)t,dt
Como Re(1+i\omega)=1>0, a integral converge e vale
2cdot11+iomega=21+iomega

Passo 3

Para t<0 temos h(t)=5e^{t}. A integral fica:
integral-infty^05e^te^-iomega t,dt=5integral-infty^0e^(1-iomega)t,dt
Como Re(1-i\omega)=1>0, a integral converge e vale
5cdot11-iomega=51-iomega

Passo 4

Somando as duas partes, obtemos
H(omega)=21+iomega+51-iomega
Para simplificar, colocamos no mesmo denominador 1+\omega^2:
H(omega)=2(1-iomega)+5(1+iomega)(1+iomega)(1-iomega) =7+3iomega1+omega^2

Resposta

H(\omega)=\dfrac{7+3i\omega}{1+\omega^2}

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