Seja a função f(t) definida por
f(x)=ll -t, & -1 <= x<0 t^22, & 0 <= x<1
Considerando f(t+2)=f(t), determine:
a. Determine a Série de Fourier na forma trigonométrica;

Passo 1

Temos uma função periódica de período 2, definida por
f(t)= -t, & -1<= t<0, tfract^22, & 0<= t<1,
e satisfazendo f(t+2)=f(t). O objetivo é desenvolver a Série de Fourier trigonométrica, ou seja, calcular os coeficientes a₀, aₙ e bₙ usando as fórmulas para função de período 2L com L=1.

Passo 2

Para período 2L (aqui L=1), a Série de Fourier trigonométrica é
f(t)=a02+sumn=1^inftyl(ancosl(tfracnpi tLr)+bnsinl(tfracnpi tLr)r),
os coeficientes vêm de
a0=1Lintegral-L^Lf(t),dt, an=1Lintegral-L^Lf(t)cosl(tfracnpi tLr),dt, bn=1Lintegral-L^Lf(t)sinl(tfracnpi tLr),dt
Substituindo L=1 simplifica para integrais de -1 a 1.

Passo 3

Cálculo de a₀:
a0=integral-1^1f(t),dt=integral-1^0(-t),dt+integral0^1tfract^22,dt
Fazendo as integrais,
integral-1^0(-t),dt=12, integral0^1tfract^22,dt=16,
logo a₀=½+¹⁄₆=²⁄₃.

Passo 4

Cálculo de aₙ:
an=integral-1^1f(t)cos(npi t),dt=integral-1^0(-t)cos(npi t),dt+integral0^1tfract^22cos(npi t),dt
Em cada parte aplicamos integração por partes (escolhendo u e dv adequados) e, após simplificar, chega-se a
an=2(-1)^n-1n^2pi^2

Passo 5

Cálculo de bₙ:
bn=integral-1^1f(t)sin(npi t),dt=integral-1^0(-t)sin(npi t),dt+integral0^1tfract^22sin(npi t),dt
Também por partes em cada intervalo obtemos
bn=(-1)^n2npi+(-1)^n-1n^3pi^3

Passo 6

Substituindo tudo na fórmula da série temos
f(t)=a02+sumn=1^inftyl(ancos(npi t)+bnsin(npi t)r) =13+sumn=1^inftyl(2(-1)^n-1n^2pi^2cos(npi t)+l[(-1)^n2npi+(-1)^n-1n^3pi^3r]sin(npi t)r)

Resposta

f(t)=13+sumn=1^infty(2(-1)^n-1n^2pi^2cos(npi t)+l[(-1)^n2npi+(-1)^n-1n^3pi^3r]sin(npi t))

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