Determine o volume do sólido obtido com a rotaçāo da regiāo, no primeiro quadrante, limitada superiormente pela reta
, inferiormente pelo curva
, e à esquerda pelo eixo
, em torno da reta
. Faça o gráfico da funçảo.
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos a região no 1º quadrante limitada acima pela reta y=2, abaixo pela curva y=2
sen
x para 0≤x≤π/2 e à esquerda pelo eixo y. Queremos o volume do sólido gerado ao girar essa região em torno da reta y=2. O conteúdo usado será o método dos discos (washers), com a fórmula V=π∫[R(x)]²
dx.
sen
x para 0≤x≤π/2 e à esquerda pelo eixo y. Queremos o volume do sólido gerado ao girar essa região em torno da reta y=2. O conteúdo usado será o método dos discos (washers), com a fórmula V=π∫[R(x)]²
dx.
Passo 2
Para visualizar, plotamos y=2
sen
x que parte de (0,0) e chega a (π/2,2), e a reta y=2 como uma linha horizontal. A região fica entre essas curvas e a reta x=0. Ao girar em torno de y=2, cada segmento vertical entre y=2
sen
x e y=2 gera um disco.
sen
x que parte de (0,0) e chega a (π/2,2), e a reta y=2 como uma linha horizontal. A região fica entre essas curvas e a reta x=0. Ao girar em torno de y=2, cada segmento vertical entre y=2
sen
x e y=2 gera um disco.
Passo 3
Como o eixo de rotação é y=2, a distância de um ponto (x,y) até essa reta é |2−y|. Para o limite inferior y=2
sen
x, o raio do disco é
sen
x, o raio do disco é
e o raio interno é zero, pois a curva y=2 está no próprio eixo de rotação. Assim, configuramos o volume como
Passo 4
Expandindo o quadrado e separando termos: [2−2
sen
x]²=4(1−2
sen
x+sin²
sen
x), logo
sen
x]²=4(1−2
sen
x+sin²
sen
x), logo
Calculamos cada integral:
•
•
• .
•
•
•
Passo 5
Substituindo esses resultados em V temos