Determine o volume do sólido obtido com a rotaçāo da regiāo, no primeiro quadrante, limitada superiormente pela reta y=2, inferiormente pelo curva y=2 sen x, 0 <= x <= pi / 2, e à esquerda pelo eixo y, em torno da reta y=2. Faça o gráfico da funçảo.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a região no 1º quadrante limitada acima pela reta y=2, abaixo pela curva y=2
sen
x para 0≤x≤π/2 e à esquerda pelo eixo y. Queremos o volume do sólido gerado ao girar essa região em torno da reta y=2. O conteúdo usado será o método dos discos (washers), com a fórmula V=π∫[R(x)]²
dx.

Passo 2

Para visualizar, plotamos y=2
sen
x que parte de (0,0) e chega a (π/2,2), e a reta y=2 como uma linha horizontal. A região fica entre essas curvas e a reta x=0. Ao girar em torno de y=2, cada segmento vertical entre y=2
sen
x e y=2 gera um disco.

Passo 3

Como o eixo de rotação é y=2, a distância de um ponto (x,y) até essa reta é |2−y|. Para o limite inferior y=2
sen
x, o raio do disco é
R(x)=2-2,sin x
e o raio interno é zero, pois a curva y=2 está no próprio eixo de rotação. Assim, configuramos o volume como
V=integral0^pi/2pi,[R(x)]^2,dx=piintegral0^pi/2[2-2sin x]^2,dx

Passo 4

Expandindo o quadrado e separando termos: [2−2
sen
x]²=4(1−2
sen
x+sin²
sen
x), logo
V=4piintegral0^pi/2l(1-2sin x+sin^2 xr),dx
Calculamos cada integral:
integral0^pi/21,dx=pi/2
integral0^pi/2sin x,dx=1
integral0^pi/2sin^2 x,dx=pi/4.

Passo 5

Substituindo esses resultados em V temos
V=4pil(pi2-2cdot1+pi4r)=4pil(3pi4-2r)=pi(3pi-8)

Resposta

V=pi,(3pi-8).

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