Calcule a transformada de Fourier da função a seguir (em todos os casos, a>0 ).
f(x)=cl1-|x| & se |x|<1, 0 & caso contrário á

Passo 1

O enunciado pede pra gente achar a transformada de Fourier de uma função triangular definida por
f(x)=1-|x|,&|x|<1,0,&caso contrárioá
Isso cai no conteúdo de transformada de Fourier de funções definidas por partes (aqui, uma “pulsação” triangular). Vamos precisar usar a definição de transformada, explorar que f(x) é par e calcular integrais de cosseno.

Passo 2

A definição que vou usar é
F(omega)=integral-infty^inftyf(x)e^-iomega x,dx
Como f(x) é função par (isto é, f(-x)=f(x)), a parte imaginária some e a transformada vira
F(omega)=2integral0^inftyf(x)cos(omega x),dx=2integral0^1(1-x)cos(omega x),dx

Passo 3

Vamos escrever essa última integral como a diferença de duas:
integral0^1(1-x)cos(omega x),dx=integral0^1cos(omega x),dx-integral0^1xcos(omega x),dx
Vou chamar
I1=integral0^1cos(omega x),dx, I2=integral0^1xcos(omega x),dx

Passo 4

Calcule I1 usando primitiva de cos(omega x):
I1=[sin(omega x)omega]0^1=sinomegaomega
Para I2, usamos a primitiva de xcos(omega x):
integral xcos(omega x),dx=xsin(omega x)omega+cos(omega x)omega^2,
então
I2=(1cdotsinomegaomega+cosomegaomega^2)-(0+1omega^2)=sinomegaomega+cosomega-1omega^2

Passo 5

Substituindo em 2[I1-I2], temos
F(omega)=2l(sinomegaomega-l(sinomegaomega+cosomega-1omega^2r)r)=21-cosomegaomega^2
Então a transformada fica
F(omega)=2l(1-cosomegar)omega^2

Passo 6

Para ficar mais elegante, usamos a identidade trigonométrica 1-cosomega=2sin^2(tfracomega2). Assim
F(omega)=4sin^2l(tfracomega2r)omega^2=iggl(sin(tfracomega2)tfracomega2gr)^2

Resposta

A transformada de Fourier é
[F(\omega)=\frac{2\bigl(1-\cos\omega\bigr)}{\omega^2} = \biggl(\frac{\sin(\tfrac{\omega}{2})}{\tfrac{\omega}{2}}\biggr)^{2}.

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