Calcule a transformada de Fourier da função a seguir (em todos os casos,
).
Passo 1
O enunciado pede pra gente achar a transformada de Fourier de uma função triangular definida por
Isso cai no conteúdo de transformada de Fourier de funções definidas por partes (aqui, uma “pulsação” triangular). Vamos precisar usar a definição de transformada, explorar que
Passo 2
A definição que vou usar é
Como
Passo 3
Vamos escrever essa última integral como a diferença de duas:
Vou chamar
Passo 4
Calcule
usando primitiva de
:
Para
então
Passo 5
Substituindo em
, temos
Então a transformada fica
Passo 6
Para ficar mais elegante, usamos a identidade trigonométrica
. Assim
Resposta
A transformada de Fourier é
[F(\omega)=\frac{2\bigl(1-\cos\omega\bigr)}{\omega^2} = \biggl(\frac{\sin(\tfrac{\omega}{2})}{\tfrac{\omega}{2}}\biggr)^{2}.