Calcule a transformada de Fourier da função a seguir (em todos os casos, a>0 ).
f(x)=cle^-|x| & se |x|<1, 0 & se |x|>1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é calcular a transformada de Fourier de uma função específica. A transformada de Fourier é uma ferramenta importante na matemática e na engenharia que nos ajuda a analisar funções no domínio da frequência. Para isso, vamos precisar entender a definição da transformada de Fourier e aplicar algumas integrais. Vamos lá?

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a transformada de Fourier. Basicamente, ela transforma uma função $ f(x) $ do domínio do tempo (ou espaço) para o domínio da frequência. A fórmula da transformada de Fourier é:
f(x)
Aqui, $ \omega $ representa a frequência angular e $ i $ é a unidade imaginária.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função $ f(x) $:
f(x)
Como a função é zero para $ |x| > 1 $, nossa integral vai de $ -1 $ a $ 1 $:
f(x) = e^-|x| & se |x| < 1, 0 & se |x| > 1

Passo 4

Para facilitar a integração, vamos dividir a função em duas partes, uma para $ x \geq 0 $ e outra para $ x < 0 $:
x >= 0
Observe que substituímos $ |x| $ por $ -x $ quando $ x < 0 $ e por $ x $ quando $ x \geq 0 $.

Passo 5

Vamos resolver cada uma das integrais separadamente.
Primeira integral ($ x < 0 $):
x < 0
Segunda integral ($ x \geq 0 $):
integral-1^0 e^x e^-i omega x , dx = integral-1^0 e^(1 - i omega) x , dx = [ e^(1 - i omega) x1 - i omega ]-1^0 = 1 - e^-(1 - i omega)1 - i omega

Passo 6

Agora, somamos os resultados das duas integrais:
Ff(x)(omega) = 1 - e^-(1 - i omega)1 - i omega + 1 - e^-(1 + i omega)1 + i omega
Podemos simplificar essa expressão multiplicando numerador e denominador por $ 1 + i \omega $ e $ 1 - i \omega $ respectivamente:
1 + i omega

Resposta

A transformada de Fourier da função $ f(x) $ é:
f(x)

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