Calcule a transformada de Fourier da função a seguir (em todos os casos,
).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é calcular a transformada de Fourier de uma função específica. A transformada de Fourier é uma ferramenta importante na matemática e na engenharia que nos ajuda a analisar funções no domínio da frequência. Para isso, vamos precisar entender a definição da transformada de Fourier e aplicar algumas integrais. Vamos lá?
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a transformada de Fourier. Basicamente, ela transforma uma função $ f(x) $ do domínio do tempo (ou espaço) para o domínio da frequência. A fórmula da transformada de Fourier é:
Aqui, $ \omega $ representa a frequência angular e $ i $ é a unidade imaginária.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função $ f(x) $:
Como a função é zero para $ |x| > 1 $, nossa integral vai de $ -1 $ a $ 1 $:
Passo 4
Para facilitar a integração, vamos dividir a função em duas partes, uma para $ x \geq 0 $ e outra para $ x < 0 $:
Observe que substituímos $ |x| $ por $ -x $ quando $ x < 0 $ e por $ x $ quando $ x \geq 0 $.
Passo 5
Vamos resolver cada uma das integrais separadamente.
Primeira integral ($ x < 0 $):
Segunda integral ($ x \geq 0 $):
Passo 6
Agora, somamos os resultados das duas integrais:
Podemos simplificar essa expressão multiplicando numerador e denominador por $ 1 + i \omega $ e $ 1 - i \omega $ respectivamente:
Resposta
A transformada de Fourier da função $ f(x) $ é: