Vetor Gradiente
(2.4) Considere a função
.
(a) Mostre que
é a curva de nível 2 de
.
(b) Fixe um ponto
no gráfico da função
do item
. Mostre que o vetor gradiente
é perpendicular à reta tangente da função
no ponto
.
(2.4) Considere a função
(a) Mostre que
(b) Fixe um ponto
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos mostrar duas coisas:
a) Que a equação
representa a curva de nível 2 dessa função.
b) Que o vetor gradiente
no ponto
dessa curva é perpendicular à reta tangente na curva nesse ponto.
Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de curvas de nível e vetores gradientes.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a). Curvas de nível são aquelas onde a função
mantém um valor constante. No caso, queremos que
.
Passo 3
Então, vamos igualar a função a 2 e resolver para
:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Passo 4
Agora, isolamos
:
Isso mostra que a curva
realmente corresponde à curva de nível 2 da função
.
Passo 5
Passando para a parte (b), queremos mostrar que o vetor gradiente
é perpendicular à reta tangente na curva
em um ponto específico
.
Passo 6
Primeiro, vamos calcular o vetor gradiente
. O vetor gradiente é dado pelas derivadas parciais da função:
Calculando as derivadas:
Portanto,
Passo 7
Agora, vamos encontrar a reta tangente à curva
no ponto
. Para isso, calculamos a derivada de
em relação a
:
A direção da reta tangente é então dada por
no ponto
.
Passo 8
Para verificar se o vetor gradiente é perpendicular à reta tangente, calculamos o produto escalar entre eles. Se o produto escalar for zero, eles são perpendiculares.
Simplificando:
Sabendo que
da parte (a):
Como o produto escalar é zero, concluímos que o vetor gradiente é perpendicular à reta tangente na curva no ponto
.
Resposta
Portanto,
é a curva de nível 2 da função
, e o vetor gradiente
é perpendicular à reta tangente à curva nesse ponto.