Vetor Gradiente
(2.4) Considere a função f(x, y)=y e^x^2+1.
(a) Mostre que y=e^-x^2 é a curva de nível 2 de f.
(b) Fixe um ponto (x0, y0) no gráfico da função y do item (a). Mostre que o vetor gradiente nabla f(x0, y0) é perpendicular à reta tangente da função y no ponto (x0, y0).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos mostrar duas coisas:
a) Que a equação representa a curva de nível 2 dessa função.
b) Que o vetor gradiente no ponto dessa curva é perpendicular à reta tangente na curva nesse ponto.
Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de curvas de nível e vetores gradientes.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a). Curvas de nível são aquelas onde a função mantém um valor constante. No caso, queremos que .

Passo 3

Então, vamos igualar a função a 2 e resolver para f(x, y) = y e^x^2 + 1 = 2 :
y e^x^2 = 1
Subtraindo 1 de ambos os lados:

Passo 4

Agora, isolamos y = e^-x^2 :
Isso mostra que a curva realmente corresponde à curva de nível 2 da função .

Passo 5

Passando para a parte (b), queremos mostrar que o vetor gradiente é perpendicular à reta tangente na curva em um ponto específico .

Passo 6

Primeiro, vamos calcular o vetor gradiente nabla f(x, y) = ( partial fpartial x, partial fpartial y ) . O vetor gradiente é dado pelas derivadas parciais da função:
partial fpartial x = y cdot 2x e^x^2 partial fpartial y = e^x^2
Calculando as derivadas:
nabla f(x, y) = ( 2x y e^x^2, e^x^2 )
Portanto,

Passo 7

Agora, vamos encontrar a reta tangente à curva dydx = -2x e^-x^2 no ponto . Para isso, calculamos a derivada de em relação a :
A direção da reta tangente é então dada por no ponto .

Passo 8

Para verificar se o vetor gradiente é perpendicular à reta tangente, calculamos o produto escalar entre eles. Se o produto escalar for zero, eles são perpendiculares.
nabla f(x0, y0) cdot (1, dydx) = 2x0 y0 e^x0^2 cdot 1 + e^x0^2 cdot (-2x0 e^-x0^2)
Simplificando:
= 2x0 y0 e^x0^2 - 2x0
Sabendo que = 2x0 e^-x0^2 e^x0^2 - 2x0 = 2x0 - 2x0 = 0 da parte (a):
Como o produto escalar é zero, concluímos que o vetor gradiente é perpendicular à reta tangente na curva no ponto .

Resposta

Portanto, é a curva de nível 2 da função , e o vetor gradiente é perpendicular à reta tangente à curva nesse ponto.

Exercícios relacionados