Sendo o valor de
uma fração irredutível a/b, calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício pede. A gente tem uma expressão com logaritmos:
E precisa calcular o valor dessa expressão que é uma fração $ \frac{a}{b} $ irreduzível. Depois, com $ a $ e $ b $, a gente vai calcular $ a - 12b + 3 $. Para resolver isso, vamos usar propriedades dos logaritmos e simplificar passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que o logaritmo $ \log_{c} d $ responde a que potência devemos elevar $ c $ para obter $ d $. Também, como a base $ 0,1 $ é igual a $ \frac{1}{10} $, podemos simplificar os logaritmos com bases menores que 1.
Passo 3
Vamos calcular cada logaritmo separadamente.
-
:
Sabemos que $ 0,1 = 10^{-1} $ e $ 0,01 = 10^{-2} $.
Usando a mudança de base:
-
:
Primeiro, simplificamos as bases:
Então:
Multiplicando por 3:
-
:
Simplificamos as bases:
Então:
Multiplicando por $ \frac{1}{2} $:
Passo 4
Agora, juntamos todos os resultados:
Então, a fração irreduzível é $ \frac{-43}{4} $. Aqui, $ a = -43 $ e $ b = 4 $.
Resposta
Calculando $ a - 12b + 3 $:
Resposta final: