Sendo o valor de log 0,1 0,01-3 log raiz2 0,25+12 log 25 0,008 uma fração irredutível a/b, calcule a-12 b+3.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício pede. A gente tem uma expressão com logaritmos:
log0,1 0,01 - 3 lograiz2 0,25 + 12 log25 0,008
E precisa calcular o valor dessa expressão que é uma fração $ \frac{a}{b} $ irreduzível. Depois, com $ a $ e $ b $, a gente vai calcular $ a - 12b + 3 $. Para resolver isso, vamos usar propriedades dos logaritmos e simplificar passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que o logaritmo $ \log_{c} d $ responde a que potência devemos elevar $ c $ para obter $ d $. Também, como a base $ 0,1 $ é igual a $ \frac{1}{10} $, podemos simplificar os logaritmos com bases menores que 1.

Passo 3

Vamos calcular cada logaritmo separadamente.
  1. log0,1 0,01:
Sabemos que $ 0,1 = 10^{-1} $ e $ 0,01 = 10^{-2} $.
Usando a mudança de base:
0,1 = 10^-1
  1. 0,01 = 10^-2 :
Primeiro, simplificamos as bases:
log0,1 0,01 = log 0,01log 0,1 = -2-1 = 2
Então:
3 lograiz2 0,25
Multiplicando por 3:
raiz2 = 2^1/2 e 0,25 = 14 = 2^-2
  1. lograiz2 0,25 = log 0,25log raiz2 = -21/2 = -4 :
Simplificamos as bases:
3 lograiz2 0,25 = 3 times (-4) = -12
Então:
12 log25 0,008
Multiplicando por $ \frac{1}{2} $:
25 = 5^2 e 0,008 = 81000 = 2^310^3 = 2^3 times 10^-3 = 2^3 times (2 times 5)^-3 = 2^0 times 5^-3 = 5^-3

Passo 4

Agora, juntamos todos os resultados:
2 - 12 + ( -34 ) = (2 - 12) + ( -34 ) = -10 - 34 = -404 - 34 = -434
Então, a fração irreduzível é $ \frac{-43}{4} $. Aqui, $ a = -43 $ e $ b = 4 $.

Resposta

Calculando $ a - 12b + 3 $:
a - 12b + 3
Resposta final: -43 - 12 times 4 + 3 = -43 - 48 + 3 = -88

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