Exercício 6: Calcule a integral
© integral0^pi cos ^4(2 t) d t

Passo 1

A questão pede para calcular a integral integral0^pi cos^4(2t),dt. O conteúdo principal é redução de potências em funções trigonométricas, e vamos precisar da fórmula de redução para cos^2 x.

Passo 2

Para começar, usamos a identidade de redução de potência:
cos^2 x = 1 + cos(2x)2

Passo 3

Elevando ao quadrado e substituindo x = 2t, obtemos
cos^4(2t) = l(cos^2(2t)r)^2 = (1 + cos(4t)2)^2 = 38 + 12cos(4t) + 18cos(8t)

Passo 4

Agora integramos termo a termo no intervalo de 0 a pi:
integral0^pi cos^4(2t),dt = integral0^pi (38 + 12cos(4t) + 18cos(8t))dt

Passo 5

As primitivas são fáceis:
integral 38,dt = 38t, integral 12cos(4t),dt = 18sin(4t), integral 18cos(8t),dt = 164sin(8t)

Passo 6

Portanto
integral0^pi cos^4(2t),dt = [38t + 18sin(4t) + 164sin(8t)]0^pi

Passo 7

Ao avaliar nos limites, sin(4pi)=sin(8pi)=0 e sin(0)=0, então só sobra
38pi - 38cdot 0 = 3pi8

Resposta

3pi8

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