Exercício 6: Calcule a integral
(h) integral0^pi / 2 sen^2(13 x) d x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
integral0^pi/2 sen^2l(tfracx3r),dx
O conteúdo aqui é integração de funções trigonométricas, e vamos usar a identidade de redução para sen^2theta.

Passo 2

Usando a identidade de redução
sen^2theta=1-cos(2theta)2,
com theta=tfracx3, reescrevemos a integral:
integral0^pi/2 sen^2l(tfracx3r),dx=integral0^pi/2l(tfrac12-tfrac12cosl(tfrac2x3r)r),dx

Passo 3

Quebrando a integral e encontrando a primitiva termo a termo:
integrall(tfrac12-tfrac12costfrac2x3r)dx =tfrac12integral dx-tfrac12integralcosl(tfrac2x3r)dx =tfracx2-tfrac12cdot32sinl(tfrac2x3r) =x2-34sinl(tfrac2x3r)

Passo 4

Avaliando a primitiva no intervalo [0,pi/2]) e simplificando:
l(tfracx2-tfrac34sintfrac2x3r)|0^pi/2 =l(tfracpi4-tfrac34sintfracpi3r)-0 =pi4-34cdotraiz32 =pi4-3raiz38

Passo 5

Portanto, o valor da integral é o resultado acima.

Resposta

pi4-3raiz38

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