Calcule a transformada de Fourier da função a seguir (em todos os casos,
).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a transformada de Fourier da função que é igual a seno de $ x $ quando $ |x| < \pi $ e zero caso contrário. Pra isso, vamos precisar lembrar como é definida a transformada de Fourier e como aplicá-la em funções que são zero fora de um certo intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Fourier. A transformada de Fourier de uma função $ f(x) $ é dada pela seguinte integral:
Essa fórmula transforma a função do domínio do tempo (ou espaço) para o domínio das frequências.
Passo 3
No nosso caso, a função $ f(x) $ é igual a $ \sin x $ quando $ |x| < \pi $ e zero caso contrário. Isso significa que a integral da transformada de Fourier vai se limitar ao intervalo de $ -\pi $ a $ \pi $. Então, podemos reescrever a transformada como:
Passo 4
Agora, vamos simplificar essa integral. Podemos usar a identidade de Euler para expressar $ e^{-i\omega x} $ em termos de funções trigonométricas:
Substituindo na integral:
Isso separa a integral em duas partes:
Passo 5
Vamos resolver cada uma das integrais separadamente.
Primeira integral:
Ao avaliar de $ -\pi $ a $ \pi $, devido à periodicidade das funções seno, essas integrais se anulam, resultando em zero.
Segunda integral:
Avaliado de $ -\pi $ a $ \pi $, também obtemos zero para $ \omega $ diferente de 1 e -1. Contudo, precisamos considerar a função no sentido de distribuições, onde a transformada de Fourier de $ \sin x $ no intervalo $ [-\pi, \pi] $ resulta em funções delta de Dirac nos pontos $ \omega = \pm 1 $.
Passo 6
Assim, a transformada de Fourier da função $ f(x) $ é composta por impulsos nas frequências $ \omega = 1 $ e $ \omega = -1 $. Portanto, podemos expressar a transformada como:
Onde $ \delta $ representa a função delta de Dirac.
Resposta
A transformada de Fourier da função $ f(x) $ é: