Determine o centro C e raio r da esfera de equação geral:
c) x^2+y^2+z^2+x-y-4 z-12=0

Passo 1

O enunciado pede para achar o centro e o raio da esfera dada pela equação geral x²+y²+z²+x–y–4z–½=0. O conteúdo é geometria analítica de esferas e vamos usar o método de completar quadrados para reescrever a equação no formato canônico.

Passo 2

Primeiro, identificamos e completamos os quadrados para cada variável. Para x temos:
x^2 + x = (x+tfrac12)^2 - tfrac14
Para y:
y^2 - y = (y-tfrac12)^2 - tfrac14
Para z:
z^2 - 4z = (z-2)^2 - 4

Passo 3

Agora substituímos essas expressões na equação original e somamos as constantes extraídas:
(x+tfrac12)^2 - tfrac14 + (y-tfrac12)^2 - tfrac14 + (z-2)^2 - 4 - tfrac12 = 0
Somando as constantes temos $-\tfrac14 - \tfrac14 - 4 - \tfrac12 = -5$. Assim a equação fica:
-tfrac14 - tfrac14 - 4 - tfrac12 = -5

Passo 4

Nesta forma canônica, o centro C é o termo que anula cada quadrado quando é negativo no binômio, e o raio r é a raiz do número do lado direito. Assim identificamos:
C = -tfrac12,,tfrac12,,2 e r = raiz5.

Resposta

Centro C = -tfrac12,,tfrac12,,2, raio r = raiz5

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